रेखीय समीकरण को हल की व्यवस्था के लिए सरल यात्रा विधि (स्लाव)

एक क्रमिक के माध्यम से अज्ञात मूल्य के मूल्यों को खोजने के लिए यह स्पष्ट के लिए एक गणितीय एल्गोरिथ्म - सरल यात्रा विधि, भी लगातार सन्निकटन की विधि, कहा जाता है। इस विधि का सार है कि, जैसा कि नाम से स्पष्ट है, धीरे-धीरे, बाद में लोगों का एक प्रारंभिक अनुमान व्यक्त कर रहे हैं और अधिक परिष्कृत परिणाम होते जा रहे हैं है। , दोनों रैखिक और गैर रेखीय इस विधि को सुलझाने समीकरणों के सिस्टम किसी दिए गए समारोह में चर के मूल्य को खोजने के लिए प्रयोग किया जाता है, और।

चलो देखते हैं कैसे इस विधि रैखिक प्रणालियों के समाधान में कार्यान्वित किया जाता है। निश्चित सूत्री यात्रा एल्गोरिथ्म इस प्रकार है:

1. प्रारंभिक मैट्रिक्स में अभिसरण की स्थिति का सत्यापन। एक अभिसरण प्रमेय: यदि मूल प्रणाली मैट्रिक्स तिरछे प्रमुख है (यानी, मुख्य विकर्ण के तत्वों में से प्रत्येक पंक्ति निरपेक्ष मूल्य में तत्वों की ओर विकर्णों की राशि से परिमाण में अधिक से अधिक होना चाहिए), सरल पुनरावृत्तियों की विधि - अभिसरण।

2. मूल प्रणाली के मैट्रिक्स हमेशा विकर्ण प्रबलता नहीं है। ऐसे मामलों में, प्रणाली तब्दील किया जा सकता। समीकरणों कि अभिसरण शर्त पूरी नहीं ऐसे ही छोड़ दिया जाता है, नाकाफी साथ और रैखिक संयोजन बनाने के लिए, अर्थात् , गुणा घटाना, एक साथ जोड़ समीकरण वांछित परिणाम उपज के लिए।

मुख्य विकर्ण पर प्राप्त प्रणाली असुविधाजनक कारक हैं, तो यह समीकरण के दोनों ओर के लिए फार्म की शर्तों से जोड़ रहे हैं _मैं एक्स _{मैं *,} जो विकर्ण तत्वों के संकेत संकेत के साथ मेल खाना चाहिए।

3. सामान्य दृश्य पर जिसके परिणामस्वरूप प्रणाली परिवर्तित:

^{एक्स - = β - + α *} एक्स -

यह कई मायनों, उदा में किया जा सकता इस प्रकार है: पहले समीकरण vtorogo- एक्स ₂ से अन्य अज्ञात के माध्यम से एक्स ₁ व्यक्त करने के _लिए, एक्स tretego- आदि के ₃ इस प्रकार हम सूत्र का उपयोग कर रहे हैं:

_{α ij = - (एक ij /} एक ii)

_मैं = _मैं बी / एक _ii
फिर लगता है कि सामान्य प्रकार के परिणामस्वरूप प्रणाली अभिसरण हालत से मेल खाती है बनाओ:

Σ (जे = 1) | α _ij | ≤ 1, और मैं = 1,2, ... n

4. इस्तेमाल किया, वास्तव में लगातार सन्निकटन की विधि शुरू,।

एक्स ⁽⁰⁾ - प्रारंभिक अनुमान है, हम व्यक्त therethrough एक्स ^(1), एक्स के बाद ⁽¹⁾ x एक्सप्रेस ^(2)। एक मैट्रिक्स फार्म के सामान्य सूत्र इस प्रकार है:

एक्स ^{(एन) = β - + α} * x (n- ¹⁾

हम गणना, जब तक हम वांछित सटीकता तक पहुँचने:

_{अधिकतम | x मैं (के) -x} मैं (k + 1) ≤ ε

तो चलिए, सरल यात्रा की विधि व्यवहार में देखते हैं। उदाहरण:
रैखिक प्रणालियों का समाधान:

4,5x1-1.7x2 + 3.5x3 = 2
3.1x1 + 2.3x2-1.1x3 = 1
1.8x1 + 2.5x2 + 4.7x3 = 4 ε = 10 ^-3 की सटीकता के साथ

अगर मॉड्यूल के विकर्ण तत्वों प्रबल देखें।

हम देखते हैं कि अभिसरण हालत एक तिहाई समीकरण से संतुष्ट है। पहले और दूसरे को बदलने, पहले समीकरण हम दो जोड़ें:

7,6x1 + 0.6x2 + 2.4x3 = 3

तीसरे एक से घटाएँ:

-2,7x1 + 4.2x2 + 1.2x3 = 2

हम बराबर में मूल प्रणाली बदल दिया है:

7,6x1 + 0.6x2 + 2.4x3 = 3
-2,7x1 + 4.2x2 + 1.2x3 = 2
1.8x1 + 2.5x2 + 4.7x3 = 4

अब हम सामान्य दृश्य पर प्रणाली को कम:

x1 = 0.3947-0.0789x2-0.3158x3
x2 = 0.4762 + 0.6429x1-0.2857x3
x3 = 0.8511-0.383x1-0.5319x2

हम सतत प्रक्रिया के अभिसरण की जाँच करें:

0,0789 + 0,3158 = 0,3947 ≤ 1
0,6429 + 0,2857 = 0,9286 ≤ 1
0.383+ .5319 = 0.9149 ≤ 1, अर्थात शर्त पूरी कर रहा है।

0.3947
प्रारंभिक अनुमान एक्स ⁽⁰⁾ = 0.4762
0.8511

सामान्य प्रकार के समीकरण में इन मूल्यों को स्थानापन्न, हम निम्न मान प्राप्त:

0.०८,८३५
एक्स ⁽¹⁾ = 0.४,८६,७९३
0.446639

स्थानापन्न नए मूल्यों, हम पाते हैं:

0.215243
एक्स ⁽²⁾ = 0.४,०५,३९६
0.558336

हम जब तक जब तक आप मान जो निर्दिष्ट शर्तों को पूरा के साथ नज़दीकी गणना करने के लिए जारी है।

0.१८,८१३

एक्स ⁽⁷⁾ = 0.४,४१,०९१

0.544319

0.188002

एक्स ⁽⁸⁾ = 0.४४,१६४

0.544428

परिणाम की शुद्धता की जाँच करें:

4,5 -1,7 * 0,1880 * 0,441 + 3,5 * 0,544 = 2,0003
3,1 * 0,1880 + 2,3 * 0,441-1.1x * 0544 = 0,9987
1,8 * 2,5 * 0,1880 + 0,441 + 4,7 * 0,544 = 3,9977

मूल समीकरण में प्राप्त मूल्यों प्रतिस्थापन द्वारा प्राप्त परिणाम, पूरी तरह से समीकरण को संतुष्ट।

हम देख सकते हैं, सरल यात्रा विधि एक काफी सटीक परिणाम देता है, लेकिन इस समीकरण को हल करने के लिए, हम समय की एक बहुत खर्च करते हैं और बोझिल गणना करने के लिए किया था।