नंबर सिस्टम गैर-पक्षीय संख्या प्रणालियों का उदाहरण

नंबर सिस्टम - यह क्या है? यहां तक कि इस प्रश्न का उत्तर जानने के बावजूद, हम में से प्रत्येक हमारी ज़िंदगी में नयी प्रणाली का उपयोग करता है और इसके बारे में संदेह नहीं करता है। यह सही है, बहुवचन में! यह एक नहीं है, लेकिन कई। इससे पहले कि हम नॉन-पोजिशन नंबर सिस्टम के उदाहरण देते हैं, हम इस मुद्दे पर गौर करते हैं, चलो भी स्थितीय प्रणालियों के बारे में भी बात करते हैं।

एक खाते की आवश्यकता है

प्राचीन काल से, लोगों को एक खाते की आवश्यकता होती थी, अर्थात, उन्होंने सहजता से महसूस किया कि कुछ चीजें और घटनाओं का एक मात्रात्मक दृष्टिकोण व्यक्त करने के लिए आवश्यक था। मस्तिष्क ने सुझाव दिया कि आपको खाते के लिए आइटम का उपयोग करने की आवश्यकता है। सबसे सुविधाजनक हमेशा अपने हाथों पर उंगलियों थे, और ये समझ में आता है, क्योंकि वे हमेशा उपलब्ध होते हैं (दुर्लभ अपवादों के साथ)।

इसलिए, मानव जाति के प्राचीन प्रतिनिधियों के लिए शाब्दिक अर्थ में उंगलियों को झुकाव के लिए आवश्यक था - उदाहरण के लिए, मारे गए ममथों की संख्या को निरूपित करने के लिए। खाते के ऐसे तत्वों के नाम अभी तक अस्तित्व में नहीं थे, लेकिन केवल एक दृश्य चित्र, एक तुलना

आधुनिक स्थितीय संख्या प्रणाली

संख्या प्रणाली मात्रात्मक मूल्यों और मात्राओं के कुछ लक्षण (प्रतीकों या अक्षरों) के माध्यम से प्रस्तुत करने के लिए एक विधि (विधि) है

गैर-स्थान संख्या प्रणालियों के उदाहरण देने से पहले, यह समझना आवश्यक है कि खाते में स्थितीय और गैर-स्थानीक क्या है। स्थिति संख्याबद्ध सिस्टम कई हैं अब वे ज्ञान के विभिन्न क्षेत्रों में निम्नलिखित का उपयोग करते हैं: द्विआधारी (केवल दो महत्वपूर्ण तत्व: 0 और 1), छह अंक (वर्णों की संख्या - 6), अष्टक (चिन्ह -8), डुओडेसिमल (बारह वर्ण), हेक्साडेसिमल (सोलह वर्ण शामिल हैं) और सिस्टम में हर श्रृंखला के संकेत शून्य से शुरू होते हैं। आधुनिक कंप्यूटर प्रौद्योगिकी द्विआधारी कोड के उपयोग पर आधारित है - द्विआधारी स्थिति संख्या प्रणाली।

दशमलव संख्या प्रणाली

पॉजिटिविटी ऐसे महत्वपूर्ण पदों के अलग-अलग डिग्री में उपस्थिति है, जिस पर संख्या के संकेत हैं। यह दशमलव दशमलव प्रणाली के उदाहरण द्वारा सबसे अच्छा प्रदर्शन किया जा सकता है। आखिरकार, हम इसे बचपन से इस्तेमाल करते थे इस प्रणाली में चिन्ह दस: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 हैं। नंबर 327 लो। तीन संकेत हैं: 3, 2, 7. उनमें से प्रत्येक अपनी स्थिति में स्थित है जगह)। सात यूनिट मूल्य (इकाइयों), दो दर्जनों और एक तिहाई-सैकड़ों के लिए आरक्षित स्थिति में रह रहे हैं। चूंकि संख्या तीन मूल्यवान है, इसलिए, इसमें केवल तीन पद हैं।

पूर्वगामी के आधार पर, इस तरह के तीन अंकों वाले दशमलव संख्या को निम्नानुसार वर्णित किया जा सकता है: तीन सौ, दो दस और सात इकाइयां। और पदों के महत्व (महत्व) को बाएं से दाएं, कमजोर स्थिति (इकाई) से मजबूत (सैकड़ों) तक गिना जाता है।

हम दशमलव स्थिति प्रणाली में बहुत सहज महसूस करते हैं। हमारे हाथों पर दस उंगलियां हैं, साथ ही साथ। पांच प्लस पांच - तो, उंगलियों के लिए धन्यवाद, हम बचपन से हैं, आसानी से एक दर्जन की कल्पना करते हैं। यही कारण है कि बच्चों के लिए गुणांक तालिका पांच और दस तक सीखना आसान है। और पैसों नोटों को गिनाना सीखना इतना आसान है, जो अक्सर गुणक होते हैं (अर्थात् वे शेष बिना विभाजित करते हैं) पांच और दस तक।

अन्य पोजिशनिंग सिस्टम

कई लोगों के आश्चर्य के लिए, यह कहा जाना चाहिए कि न केवल दशमलव प्रणाली के खाते में हमारे दिमाग को कुछ गणना करने के लिए आदी है। अब तक, मानव जाति ने छः-बार-बार अंकों की संख्या प्रणाली का इस्तेमाल किया है। अर्थात, ऐसी व्यवस्था में केवल छह वर्ण (हेक्साडेसिमल में) हैं: 0, 1, 2, 3, 4, 5. बारहवें क्रम में बारह हैं: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 , ए, बी, जहां ए - संख्या 10, बी - संख्या 11 (चूंकि साइन एक होना चाहिए) को दर्शाता है।

खुद के लिए न्यायाधीश हमें लगता है कि समय छह है, है ना? एक घंटे साठ मिनट (छह दर्जन), एक दिन चौबीस घंटे (दो बार बारह), एक वर्ष बारह महीने होता है और इसी तरह ... सभी समय अंतराल आसानी से छः- और बारह पंक्ति पंक्तियों में फिट होते हैं। लेकिन हम इसका इस्तेमाल करते हैं कि हम समय की गिनती के बारे में भी सोच भी नहीं सकते।

गैर-स्थान संख्या प्रणाली एकल

यह निर्धारित करना आवश्यक है कि यह क्या है - गैर-स्थितीय संख्या प्रणाली। यह ऐसी एक संकेत प्रणाली है, जिसमें किसी संख्या के संकेतों के लिए कोई स्थान नहीं है, या किसी स्थिति से "पढ़ना" के सिद्धांत पर निर्भर नहीं होता है इसके लेखन या गणना के लिए इसके अपने नियम हैं

हम गैर-स्थान संख्या प्रणालियों के उदाहरण देते हैं चलिए पुरातनता पर लौटें। लोगों को एक खाते की जरूरत है और सरल आविष्कार के साथ आया - नोड्यूल गैर-पोजीशनिंग सिस्टम नोडल सिस्टम है उदाहरण के लिए, एक आइटम (चावल, एक बैल, एक घास का ढेर , आदि का एक बैग) गिना जाता है, उदाहरण के लिए, जब स्ट्रिंग पर गाँठ को खरीदने या बेचने और बद्ध करता है

नतीजतन, रस्सी पर इतने सारे गाँठ निकले, चावल के कितने बैग खरीदा (एक उदाहरण के रूप में) लेकिन यह एक लकड़ी की छड़ी पर भी हो सकता है, एक पत्थर की पटिया आदि पर। ऐसी संख्याबद्ध प्रणाली को नोडल प्रणाली के रूप में जाना जाता है इसका दूसरा नाम है - यूनरी, या एकल ("अनो" का अर्थ "एक" लैटिन में)।

यह स्पष्ट हो जाता है कि यह संख्या प्रणाली गैर-स्थितीय है सब के बाद, क्या स्थिति हो सकती है जब यह (स्थिति) केवल एक ही है! आश्चर्य की बात है कि पृथ्वी के कुछ हिस्सों में प्रक्रिया के दौरान अभी भी एक गैर-गैर-स्थिति संख्या प्रणाली है।

गैर-पोजिशनिंग सिस्टम के साथ ही हैं:

• रोमन (अक्षरों के लिखे जाने के लिए इस्तेमाल किए जाने वाले अक्षर - लैटिन प्रतीक);
• प्राचीन मिस्र (रोमन के समान, भी प्रतीकों का इस्तेमाल किया गया था);
• वर्णमाला (वर्णमाला के अक्षर इस्तेमाल किए गए थे);
• बेबीलोनियन (क्यूनिफेरफ़ॉर्म - एक सीधे और उल्टे "पच्चर" का प्रयोग किया गया);
• ग्रीक (जिसे वर्णानुक्रम भी कहा जाता है)

रोमन अंक प्रणाली

प्राचीन रोमन साम्राज्य, साथ ही इसके विज्ञान, बहुत प्रगतिशील थे। रोमन ने विज्ञान और कला के कई उपयोगी आविष्कार को अपने स्वयं के सिस्टम खातों सहित, दिया। दो सौ साल पहले, व्यापारिक दस्तावेजों में राशि का उल्लेख करने के लिए रोमन संख्या का इस्तेमाल किया गया था (इस प्रकार जालसाजी से बचने)

रोमन संख्या एक गैर-स्थान संख्या प्रणाली का एक उदाहरण है, यह अब हमारे लिए ज्ञात है इसके अलावा रोमन व्यवस्था सक्रिय रूप से प्रयोग की जाती है, लेकिन गणितीय गणनाओं के लिए नहीं, लेकिन बाल बाल निर्देशित क्रियाओं के लिए उदाहरण के लिए, रोमन अंकों की सहायता से पुस्तक संस्करणों में ऐतिहासिक दिनांक, आयु, संस्करण, खंड और अध्याय नामित करने के लिए प्रथा है घड़ियों के डायल को सजाने के लिए अक्सर रोमन संकेतों का उपयोग करें और रोमन संख्या एक गैर-पोजिशनिंग नंबर सिस्टम का उदाहरण है।

रोमनों ने लैटिन अक्षरों में संख्याओं को चिह्नित किया। और वे कुछ नियमों द्वारा लिखित संख्याएं रोमन अंक प्रणाली में प्रमुख प्रतीकों की एक सूची है, उनमें से सभी नंबर बिना किसी अपवाद के दर्ज किए गए थे।

संख्या संकलन के लिए नियम

आवश्यक संख्या चिन्ह (लैटिन अक्षरों) को जोड़कर और उनके योग की गणना करके प्राप्त किया गया था विचार करें कि रोमन व्यवस्था में चिन्हों को प्रतीकात्मक रूप से कैसे लिखा जाता है और उन्हें "पढ़ा" कैसे करें चलो रोमन गैर-स्थिति संख्या प्रणाली में संख्या के गठन के बुनियादी कानूनों की गणना करते हैं।

1. संख्या चार - चतुर्थ, दो लक्षण होते हैं (I, वी - एक और पांच)। यह बड़ा से छोटे चिह्न को घटाकर प्राप्त किया जाता है यदि यह बाईं ओर है जब छोटे चिह्न सही पर स्थित है, तो यह जोड़ना आवश्यक है, फिर संख्या छ: छ 6 प्राप्त होगी।
2. इसके साथ-साथ दो समान लक्षणों को जोड़कर जोड़ना आवश्यक है। उदाहरण के लिए: सीसी 200 (सी -100), या एक्सएक्स -20 है
3. यदि किसी संख्या का पहला अक्षर दूसरे से कम है, तो इस श्रृंखला में तीसरा एक प्रतीक हो सकता है जिसका मूल्य पहले से भी कम है। उलझन में नहीं होने के लिए, हम एक उदाहरण देते हैं: सीडीएक्स -410 (दशमलव में)।
4. कुछ बड़ी संख्याएं कई तरह से प्रदर्शित की जा सकती हैं, जो रोमन खाता प्रणाली की कमियां हैं। यहां कुछ उदाहरण हैं: एमवीएम (रोमन व्यवस्था) = 1000 + (1000 - 5) = 1 99 5 (दशमलव प्रणाली) या एमडीवीडी = 1000 + 500 + (500 - 5) = 1 99 5। और यह सभी तरह से नहीं है

अंकगणित के तरीके

गैर-पोजिशनिंग नंबर सिस्टम कभी-कभी संख्याओं के गठन के लिए नियमों का एक जटिल सेट होता है, उनकी प्रसंस्करण (उन पर कार्रवाई)। गैर-स्थान संख्या प्रणाली में अंकगणित संचालन आधुनिक लोगों के लिए आसान नहीं है। प्राचीन रोमन गणितज्ञों को ईर्ष्या न करें!

इसके अलावा का उदाहरण चलिए दो नंबर जोड़ने का प्रयास करें: XIX + XXVI = XXXV, यह कार्य दो कार्यों में किया जाता है:

1. सबसे पहले, हम लेते हैं और संख्याओं के छोटे हिस्से जोड़ते हैं: IX + VI = XV (मैं वी और वी के बाद एक्स "एक दूसरे को" नष्ट कर देता हूं )।
2. दूसरे, हम दो संख्याओं के बड़े अंश जोड़ते हैं: X + XX = XXX

घटाव कुछ और अधिक जटिल है घटित संख्या को समग्र तत्वों में तोड़ने की जरूरत है, और इसके बाद, कम और घटाई जाने वाले लोगों में डुप्लिकेट किए गए प्रतीकों को कम किया जाना चाहिए। संख्या 500 से हम घटाते हैं 263:

डी - सीसीएलएक्सआईआईआई = सीसीसीसीएलएक्स XVIII - सीसीएलएक्सआईआईआईआई = सीसीएक्सएक्सआईआईआईआई

रोमन संख्या का गुणन वैसे, यह उल्लेख करना जरूरी है कि रोमनों को अंकगणित संचालन के संकेत नहीं मिले, उन्होंने उन्हें शब्दों के साथ ही चिह्नित किया।

गुणक के प्रत्येक व्यक्ति के प्रतीक के लिए गुणा गुणा की जरूरत थी, जिसके परिणामस्वरूप कई कार्यों को जोड़ा जा सके। इस तरह, बहुपदों का गुणन किया जाता है।

विभाजन के लिए, रोमन अंक प्रणाली में यह प्रक्रिया सबसे जटिल और बनी हुई है। यहां प्राचीन रोमन एबैकस का उपयोग किया गया - एबाकस उनके साथ काम करने के लिए, लोगों को विशेष रूप से प्रशिक्षित किया गया था (और हर व्यक्ति इस तरह के विज्ञान में मास्टर करने में कामयाब नहीं था)।

गैर-स्थिति प्रणालियों के नुकसान पर

जैसा कि ऊपर कहा गया था, गैर-स्थान संख्या प्रणाली में कुछ नुकसान, उपयोग में असुविधाएँ हैं साधारण गणना के लिए यूनारी काफी सरल है, लेकिन यह गणित और जटिल गणनाओं के लिए उपयुक्त नहीं है।

रोमन में बड़ी संख्या के गठन के लिए कोई समान नियम नहीं हैं और भ्रम उत्पन्न होता है, और इसमें गणना करना बहुत मुश्किल होता है। इसके अलावा, सबसे बड़ी संख्या जो प्राचीन रोमन अपनी विधि की सहायता से रिकॉर्ड कर सकते थे, 100,000 थी।