संभावना के सिद्धांत। एक घटना की संभावना, सामयिक घटना (संभाव्यता सिद्धांत)। संभावना के सिद्धांत में स्वतंत्र और असंगत के घटनाक्रम

यह संभावना नहीं कई लोगों को लगता है कि यह जो कुछ हद तक आकस्मिक करने के लिए, घटनाओं गिनती करने के लिए संभव है। सरल शब्दों में कहें, यह पता करने के लिए यथार्थवादी पासा में घन के किस ओर अगली बार गिर जाएगी। यह दो महान वैज्ञानिकों पूछने के लिए इस सवाल का था, इस विज्ञान के लिए नींव, सिद्धांत रखी संभावना की, की संभावना घटना है, जिसमें बड़े पैमाने पर पर्याप्त अध्ययन किया।

पीढ़ी

आप संभावना के सिद्धांत के रूप में इस तरह के एक अवधारणा परिभाषित करने की कोशिश करते हैं, तो हम निम्नलिखित मिलती है: इस गणित की शाखाओं कि यादृच्छिक घटनाओं की भक्ति का अध्ययन करता है में से एक है। जाहिर है, इस अवधारणा को सच में सार प्रकट नहीं करता है, तो आप और अधिक विस्तार में यह विचार करने की जरूरत।

मैं सिद्धांत के संस्थापकों के साथ शुरू करना चाहते हैं। जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया था, वहाँ दो थे कि प्रति Ferma में और ब्लेज़ पास्कल। वे पहली बार एक घटना के परिणाम की गणना करने के सूत्रों और गणितीय गणना का उपयोग कर की कोशिश की थी। सामान्य तौर पर, इस विज्ञान के मूलतत्त्व मध्य युग में भी है। जिससे एक पैटर्न की स्थापना के लिए एक ओर जहां विभिन्न विचारकों और वैज्ञानिकों, ऐसे रूले, क्रेप्स के रूप में कैसीनो के खेल, और इतने पर विश्लेषण करने के लिए कोशिश की है, और एक संख्या के प्रतिशत की हानि। नींव भी सत्रहवीं सदी में रखी गई थी यह ऊपर उल्लिखित विद्वानों था।

प्रारंभ में, अपने काम के इस क्षेत्र में महान उपलब्धियों के लिए जिम्मेदार ठहराया नहीं जा सका, सब के बाद, उन्होंने क्या किया, वे बस थे अनुभवजन्य तथ्यों और प्रयोगों सूत्रों का उपयोग बिना स्पष्ट रूप से थे। समय के साथ, यह बहुत अच्छा परिणाम है, जो हड्डियों के कलाकारों के अवलोकन का एक परिणाम के रूप में दिखाई दिया प्राप्त करने के लिए बदल गया। इसी वाद्ययंत्र पहले अलग सूत्र लाने के लिए मदद की है है।

समर्थकों

नहीं करने के लिए क्रिस्टियन हुय्गेंस के रूप में इस तरह के एक आदमी, विषय है कि "संभाव्यता सिद्धांत" के नाम भालू का अध्ययन करने की प्रक्रिया में (घटना की संभावना इस विज्ञान के क्षेत्र में यह प्रकाश डाला गया है) का उल्लेख है। इस व्यक्ति को बहुत ही दिलचस्प है। उन्होंने कहा कि, साथ ही ऊपर प्रस्तुत वैज्ञानिकों यादृच्छिक घटनाओं की एक पद्धति निकालना गणितीय सूत्रों के रूप में करने की कोशिश की जाती है। ऐसा नहीं है कि है उसके सभी कार्यों उन मन के साथ ओवरलैप नहीं करता है उल्लेखनीय है कि वह पास्कल और फर्मेट के साथ साझा नहीं किया है। हुय्गेंस व्युत्पन्न संभाव्यता सिद्धांत की बुनियादी अवधारणाओं।

एक दिलचस्प तथ्य यह है कि अपने काम के अग्रदूतों में से काम करता है के परिणामों से बहुत पहले आया था, सटीक, बीस साल पहले हो रहा है। वहाँ केवल अवधारणाओं थे पहचान में से एक हैं:

• संभावना मूल्यों मौका की अवधारणा के रूप में;
• असतत मामले के लिए उम्मीद;
• इसके अलावा और संभावनाओं का गुणा के प्रमेयों।

इसके अलावा, एक Yakoba Bernulli, जो भी समस्या का अध्ययन करने के लिए योगदान नहीं भूल सकता। अपने स्वयं के, जिनमें से न तो स्वतंत्र परीक्षण कर रहे हैं के माध्यम से उन्होंने बड़ी संख्या में कानून का सबूत प्रदान करने में सक्षम था। बदले में, वैज्ञानिकों प्वासों और लाप्लास, जो उन्नीसवीं सदी की शुरूआत में काम किया, मूल प्रमेय साबित करने में सक्षम थे। से उस पल टिप्पणियों में त्रुटियों का विश्लेषण करने के हम संभाव्यता सिद्धांत का उपयोग शुरू किया। इस विज्ञान के चारों ओर पार्टी सकता है नहीं और रूसी वैज्ञानिकों, बल्कि मार्कोव, Chebyshev और Dyapunov। वे काम महान प्रतिभाएं पर आधारित हैं, गणित की एक शाखा के रूप में विषय हासिल किया। हम उन्नीसवीं सदी के अंत में इन आंकड़ों काम किया, और उनके योगदान के लिए धन्यवाद, जैसे साबित हो गया है घटना:

• बड़ी संख्या में कानून;
• मार्कोव श्रृंखला के सिद्धांत;
• केंद्रीय सीमा प्रमेय।

तो, विज्ञान के और प्रमुख हस्तियों है कि यह करने के लिए योगदान के साथ जन्म के इतिहास, सब कुछ कम या ज्यादा स्पष्ट है। अब यह सभी तथ्यों बाहर मांस के लिए समय है।

बुनियादी अवधारणाओं

इससे पहले कि आप को छूने के कानूनों और प्रमेयों संभाव्यता सिद्धांत की बुनियादी अवधारणाओं सीखना चाहिए। घटना यह एक प्रमुख भूमिका पर है। इस विषय को नहीं बल्कि व्यापक है, लेकिन नहीं इसके बिना सब बाकी को समझने में सक्षम हो जाएगा।

संभाव्यता सिद्धांत में घटना - यह प्रयोग के परिणामों के किसी सेट। इस घटना के अवधारणाओं वहाँ पर्याप्त नहीं है। इस प्रकार, लोटमैन वैज्ञानिक इस क्षेत्र में काम, व्यक्त किया है कि इस मामले में हम किस बारे में बात कर रहे हैं "क्या हुआ है, हालांकि ऐसा नहीं कर सका।"

यादृच्छिक घटनाओं (संभाव्यता सिद्धांत उन्हें विशेष ध्यान देता है) - एक अवधारणा है कि पूरी तरह से किसी भी होने की संभावना होने घटना शामिल है। या, इसके विपरीत, इस परिदृश्य स्थिति की एक किस्म के प्रदर्शन में नहीं हो सकता। यह भी जानते हुए भी कि घटना सिर्फ यादृच्छिक घटनाओं से होने वाली की पूरी मात्रा पर कब्जा के लायक है। संभाव्यता सिद्धांत पता चलता है कि सभी शर्तों को लगातार दोहराया जा सकता है। यह उनके आचरण "अनुभव" या बुलाया गया है कि "परीक्षण।"

महत्वपूर्ण घटना - यह एक घटना है कि इस परीक्षण में एक सौ प्रतिशत हो गया है। तदनुसार, असंभव घटना - यह कुछ ऐसा है नहीं होता है है।

संयोजन जोड़े एक्शन (पारंपरिक मामला एक और मामले बी) एक घटना जो एक साथ होता है। वे अटल बिहारी के रूप में भेजा जाता है।

घटनाओं के जोड़े के ए और बी की राशि - सी दूसरे शब्दों में, अगर उनमें से कम से कम एक (ए या बी), आप एक सी सूत्र में वर्णित घटना के रूप में सी = ए + बी लिखा है मिल जाएगा

संभावना के सिद्धांत में असंगत घटनाओं का तात्पर्य है कि दो मामलों परस्पर अनन्य हैं। एक ही समय में वे किसी भी मामले नहीं हो सकता है कर रहे हैं। संभाव्यता सिद्धांत में संयुक्त घटनाओं - यह उनकी पोप का प्रतियोगी है। निहितार्थ यह है कि अगर एक हुआ, यह सी बाधा नहीं है

घटना (संभाव्यता सिद्धांत उन्हें विस्तार से विचार करता है) का विरोध करते समझने में आसान कर रहे हैं। यह सबसे अच्छा तुलना में उन लोगों के साथ निपटने के लिए है। वे लगभग संभावना के सिद्धांत में एक ही रूप में असंगत विकास हैं। हालांकि, उनके अंतर यह है कि किसी भी मामले में घटना की अधिकता से एक होने चाहिए है।

समान रूप से होने की संभावना घटनाओं - उन कार्यों, पुनरावृत्ति की संभावना बराबर है। यह स्पष्ट करने के लिए, आप एक सिक्का घालना कल्पना कर सकते हैं: इसके पक्ष में से एक के नुकसान को समान रूप से संभावित अन्य नुकसान है।

यह घटना पक्ष के उदाहरण पर विचार करने के लिए आसान है। मान लीजिए प्रकरण ए प्रथम में एक प्रकरण है - एक विषम संख्या के आगमन के साथ एक मरने के एक रोल है, और दूसरा - पासों पर पांच नंबर की उपस्थिति। तो यह पता चला है कि एक इष्ट वी है

स्वतंत्र घटनाओं संभाव्यता सिद्धांत में केवल दो या अधिक अवसरों पर पेश किया और अन्य के द्वारा कोई कार्यवाही की स्वतंत्र शामिल कर रहे हैं। उदाहरण के लिए, एक - डेक से dostavanie जैक - नुकसान पूंछ सिक्का पटकना, और बी पर। वे संभाव्यता सिद्धांत में स्वतंत्र घटनाओं की है। इस क्षण से यह स्पष्ट हो गया।

संभाव्यता सिद्धांत में आश्रित घटनाओं केवल अपने सेट के लिए भी अनुमति है। वे अन्य पर एक की निर्भरता मतलब, वह है, घटना केवल मामले में में हो सकता है जब एक पहले से ही हुआ है या इसके विपरीत,, ऐसा नहीं हुआ जब यह है - बी के लिए मुख्य शर्त

यादृच्छिक एक भी घटक से मिलकर प्रयोग का परिणाम है - यह प्राथमिक घटनाओं है। संभाव्यता सिद्धांत का कहना है कि यह है कि केवल एक बार किया जाता है एक घटना है।

बुनियादी सूत्र

इस प्रकार, ऊपर "घटना", "संभाव्यता सिद्धांत" की अवधारणा पर विचार किया गया, इस विज्ञान के प्रमुख शब्दों की परिभाषा भी दिया गया था। अब यह महत्वपूर्ण सूत्रों के साथ ही परिचित करने के लिए समय है। ये भाव गणितीय संभावना के सिद्धांत के रूप में इस तरह के एक कठिन विषय में सभी मुख्य अवधारणाओं की पुष्टि कर रहे हैं। एक घटना की संभावना और एक बड़ी भूमिका निभाता है।

बेहतर साहचर्य के बुनियादी सूत्रों के साथ शुरू करने के लिए। और इससे पहले कि आप उन्हें शुरू, यह विचार कि यह क्या है लायक है।

साहचर्य - मुख्य रूप से गणित की एक शाखा है, वह है, पूर्णांकों, और दोनों संख्या और उनके तत्वों, विभिन्न डेटा, आदि के विभिन्न क्रमपरिवर्तन की एक बड़ी संख्या का अध्ययन कर संयोजनों की एक संख्या के लिए अग्रणी ... संभावना के सिद्धांत के अलावा, इस उद्योग सांख्यिकी, कंप्यूटर विज्ञान और क्रिप्टोग्राफी के लिए महत्वपूर्ण है।

तो अब आप स्वयं और उनके परिभाषा सूत्रों की प्रस्तुति पर जा सकते हैं।

इनमें से पहला, क्रमपरिवर्तन की संख्या के लिए अभिव्यक्ति है यह इस प्रकार है:

P_n = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2) ... 3 2 ⋅ ⋅ 1 एन =!

समीकरण ही मामले में लागू होता है अगर तत्वों व्यवस्था के क्रम में ही भिन्न होते हैं।

अब प्लेसमेंट सूत्र, ऐसा लगता है कि इस पर विचार किया जाएगा:

A_n ^ मीटर = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ ... ⋅ (n - मीटर + 1) = n! : (एन - मी)!

यह अभिव्यक्ति न केवल ऑर्डर देने का एकमात्र ऐसा तत्व है, बल्कि इसकी संरचना के लिए लागू है।

साहचर्य के तीसरे समीकरण, और यह उत्तरार्द्ध, संयोजनों की संख्या के लिए सूत्र कहा जाता है:

C_n ^ मीटर = n! : ((एन - एम))! : M!

संयोजन नमूना कहा जाता है, जो आदेश दिया जाता है नहीं, क्रमशः, करने के लिए और इस नियम लागू होता है।

साहचर्य के सूत्रों के साथ आसानी से समझ आ गया, अब आप संभावना की शास्त्रीय परिभाषा करने के लिए जा सकते हैं। यह इस अभिव्यक्ति की तरह दिखता है इस प्रकार है:

पी (ए) = मी: एन।

इस सूत्र में, मीटर - समान रूप से और पूरी तरह से सभी प्राथमिक घटनाओं की संख्या - घटना एक के लिए अनुकूल शर्तों की संख्या, और n है।

वहाँ लेख में कई भाव कुछ भी विचार नहीं किया जाएगा, लेकिन प्रभावित जैसे, उदाहरण के लिए, घटनाओं की संभावना बराबर है सबसे महत्वपूर्ण होते हो जाएगा रहे हैं:

पी (ए + बी) = पी (ए) + पी (बी) - केवल परस्पर अनन्य घटनाओं को जोड़ने के लिए इस प्रमेय;

पी (ए + बी) = पी (ए) + पी (बी) - पी (एबी) - लेकिन इस संगत जोड़ने के लिए ही है।

घटना काम करता है की संभावना:

पी (ए ⋅ बी) = पी (ए) ⋅ पी (बी) - स्वतंत्र घटनाओं के लिए इस प्रमेय;

(पी (ए ⋅ बी) = पी (ए) ⋅ पी (बी | ए); पी (ए ⋅ बी) = पी (ए) ⋅ पी (ए | बी)) - और इस पर निर्भर के लिए।

घटनाओं सूत्र के समाप्त हो गया सूची। संभावना के सिद्धांत हमें बताता है प्रमेय Bayes है, जो इस प्रकार है:

पी (H_m | ए) = (पी (H_m) पी (ए | H_m)): (Σ_ (k = 1) ^ n पी (H_k) पी (ए | H_k)), मी = 1, ..., n

इस सूत्र, एच _1, एच _2, में ..., एच _एन - परिकल्पना का एक पूरा सेट है।

इस पड़ाव पर, नमूने सूत्रों आवेदन अब अभ्यास से विशिष्ट कार्यों के लिए विचार किया जाएगा।

उदाहरण

आप ध्यान से गणित की किसी भी शाखा का अध्ययन करते हैं, यह अभ्यास और नमूना समाधान के बिना नहीं है। और की संभाव्यता सिद्धांत: घटनाओं, यहाँ उदाहरण वैज्ञानिक गणना की पुष्टि के एक अभिन्न अंग हैं।

क्रमपरिवर्तन की संख्या के लिए सूत्र

उदाहरण के लिए, एक कार्ड डेक में तीस कार्ड है, नाममात्र एक साथ शुरू। अगला सवाल। कितने डेक ताकि एक और दो के अंकित मूल्य के साथ कार्ड अगले नहीं स्थित थे गुना करने के तरीके?

कार्य के लिए निर्धारित है, अब इसे से निपटने के लिए पर बढ़ते हैं। सबसे पहले आप तीस तत्वों के क्रमपरिवर्तन, इस उद्देश्य के लिए हम उपरोक्त सूत्र लेने की संख्या निर्धारित करने की जरूरत है, यह बदल जाता है P_30 = 30।

इस नियम के आधार पर, हम जानते हैं कि कितने विकल्प वहाँ कई मायनों में डेक डालने के हैं, लेकिन हम उन्हें से काट लिया जाना चाहिए, जिसमें उन पहले और दूसरे कार्ड अगले हो जाएगा रहे हैं। ऐसा करने के लिए एक प्रकार, जब प्रथम, द्वितीय पर स्थित है के साथ शुरू करते हैं। ऐसा लगता है कि पहला नक्शा उनतीस स्थानों लग सकता है - पहले से बीस में से नौवीं, और तीस से पीछे से दूसरे कार्ड, ताश के पत्तों की जोड़े के लिए उनतीस सीटें बदल जाता है। बदले में, दूसरों अट्ठाईस सीटों लेते हैं, और किसी भी क्रम में कर सकते हैं। यही कारण है कि है अट्ठाईस विकल्पों P_28 = 28 अट्ठाईस ताश के पत्तों की पुनर्व्यवस्था के लिए, है!

नतीजा यह है कि अगर हम निर्णय पर विचार करें, जब पहली कार्ड दूसरा अतिरिक्त अवसर पर है 29 ⋅ 28 पाने के लिए है! = 29!

एक ही विधि का उपयोग करके, आप मामला है जब पहले कार्ड दूसरे के नीचे स्थित है के लिए अनावश्यक विकल्पों की संख्या की गणना करने की जरूरत है। इसके अलावा 29 ⋅ 28 प्राप्त! = 29!

इस से यह इस प्रकार है कि अतिरिक्त विकल्प 2 ⋅ 29!, जबकि डेक 30 एकत्रित करने की आवश्यक का मतलब है! - 2 ⋅ 29!। यह गणना करने के लिए केवल बनी हुई है।

30! = 29! ⋅ 30; 30 - 2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30 - 2) = 29! ⋅ 28

अब हम एक साथ संख्या के सभी एक से बीस-नौ गुणा करने की आवश्यकता है, और फिर सभी 28 से गुणा के अंत में जवाब 2,4757335 ⋅ 〖〗 10 ^ 32 प्राप्त

समाधान के उदाहरण। आवास की संख्या के लिए सूत्र

इस समस्या में, आप शर्त के तहत है कि केवल तीस संस्करणों कितने तरीके एक शेल्फ पर पंद्रह संस्करणों डाल करने के लिए कर रहे हैं पता लगाने के लिए की जरूरत है, लेकिन।

इस कार्य में, निर्णय पिछले की तुलना में थोड़ा आसान। पहले से ही ज्ञात सूत्र का उपयोग करना, यह तीस स्थानों पंद्रह संस्करणों की कुल संख्या की गणना करने के लिए आवश्यक है।

A_30 ^ 15 = 30 ⋅ 29 ⋅ ... ⋅ 28⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16 = 202 843 204 931 727 360 000

प्रतिक्रिया में क्रमश: 202 843 204 931 727 360 000 के बराबर होगा।

अब थोड़ा और अधिक मुश्किल काम ले। तुम्हें पता है कि कितने वहाँ अलमारियों पर बत्तीस पुस्तकों की व्यवस्था करने के तरीके, परंतुक कि केवल पन्द्रह संस्करणों में एक ही शेल्फ पर निवास कर सकते हैं के साथ कर रहे हैं की जरूरत है।

निर्णय की शुरुआत से पहले स्पष्ट करने के लिए समस्याओं में से कुछ कई मायनों में हल किया जा सकता है कि चाहते हैं, और इस में वहाँ दो तरीके हैं, लेकिन दोनों में एक और एक ही सूत्र लागू किया जाता है।

इस कार्य में, आप देखते हैं क्योंकि हम समय की संख्या आप अलग अलग तरीकों से पंद्रह पुस्तकों के लिए शेल्फ भर सकते हैं गणना की है, जो पिछले एक से जवाब ले सकते हैं। = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16 - यह A_30 ^ 15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ (15 + 1 30) बदल गया।

दूसरी रेजिमेंट, सूत्र फेरबदल द्वारा गणना क्योंकि यह पंद्रह किताबें रख दिया गया है, जबकि पंद्रह के शेष। हम सूत्र P_15 = 15 का उपयोग करें!।

ऐसा लगता है कि योग होगा A_30 ^ 15 ⋅ P_15 तरीके हैं, लेकिन, इसके अलावा में, सोलह करने के लिए तीस से सभी संख्याओं का गुणनफल पंद्रह एक से संख्याओं का गुणनफल से गुणा किया जाएगा, अंत में तीस एक से सभी नंबरों के उत्पाद को बाहर कर देते हैं, कि जवाब है 30 है!

लेकिन इस समस्या को एक अलग तरीके से हल किया जा सकता - आसान। ऐसा करने के लिए, आप कल्पना कर सकते तीस पुस्तकों के लिए एक शेल्फ नहीं है। वे सब के सब इस विमान पर रखा जाता है, लेकिन क्योंकि हालत दो अलमारियों, एक लंबे समय से हम छमाही में काटना, दो बारी-बारी से पंद्रह वहाँ थे कि आवश्यकता है। इस से यह पता चला है कि इस व्यवस्था के लिए P_30 = 30 हो सकता है!।

समाधान के उदाहरण। के संयोजनों की संख्या के लिए सूत्र

कौन साहचर्य की तीसरी समस्या का एक प्रकार माना जाता है। तुम्हें पता है कि कितने तरीकों से वहाँ की स्थिति पर पंद्रह किताबें है कि आप तीस ठीक उसी से चयन करना होगा की व्यवस्था कर रहे हैं की जरूरत है।

निर्णय, ज़ाहिर है, तो संयोजनों की संख्या के लिए फार्मूला लागू होगा। हालत से यह स्पष्ट हो जाता है कि एक ही पंद्रह पुस्तकों के क्रम महत्वपूर्ण नहीं है। तो शुरू में आप तीस पंद्रह पुस्तकों के संयोजनों की कुल संख्या पता लगाने के लिए की जरूरत है।

C_30 ^ 15 = 30! : ((30-15))! : 15! = 155117520

बस इतना ही। कम से कम संभव समय में इस सूत्र का उपयोग करना, इस तरह के एक समस्या है, इस सवाल का जवाब क्रमश: 155,117,520 के बराबर हल करने के लिए।

समाधान के उदाहरण। संभावना की क्लासिक परिभाषा

सूत्र ऊपर दिए गए का उपयोग करना, एक कोई सरल कार्य में एक जवाब मिल सकता है। लेकिन यह स्पष्ट रूप से देख सकते हैं और कार्रवाई के पाठ्यक्रम का पालन करेंगे।

कार्य दिया है कि एक कलश में वहाँ दस पूरी तरह से समान गेंदें हैं। इनमें से चार पीले और नीले रंग की छह। कलश एक गेंद से लिया। यह नीला dostavaniya संभावना पता करने के लिए आवश्यक है।

समस्या को हल करने के लिए यह यह अनुभव दस परिणाम, हो सकता है dostavanie नीली गेंद घटना ए को नामित करने के लिए आवश्यक है जो, बारी में, प्राथमिक और समान रूप से होने की संभावना। इसी समय, दस में से छह अनुकूल करने के लिए घटना ए निम्न सूत्र का समाधान कर रहे हैं:

पी (ए) = 6: 10 = 0.6

इस सूत्र को लागू करने, हमने सीखा है कि नीली गेंद dostavaniya संभावना 0.6 है।

समाधान के उदाहरण। घटनाओं राशि की संभावना

कौन एक प्रकार, जिसमें घटनाओं राशि की संभावना का सूत्र का उपयोग करके हल किया जाता है हो जाएगा। आठ ग्रे और चार सफेद गेंदों - तो, हालत दो मामलों देखते हैं कि दिए गए, पहले एक ग्रे और पांच सफेद गेंदों है, जबकि दूसरा स्थान है। नतीजतन, पहले और दूसरे बक्से उनमें से एक पर ले लिया है। यह पता लगाने के लिए क्या संभावना है कि कमी रह गई थी गेंदों ग्रे और सफेद कर रहे हैं आवश्यक है।

इस समस्या को हल करने के लिए, यह घटना की पहचान करने के लिए आवश्यक है।

• पी (ए) = 1/6: - इस प्रकार, एक हम पहले बॉक्स से एक ग्रे बॉल है।
• ए '- सफेद बल्ब भी पहले बॉक्स से लिया: पी (ए') = 5/6।
• - दूसरे नाली की पहले से ही निकाला ग्रे बॉल: पी (बी) = 2/3।
• '-: (= 1/3 बी पी बी) दूसरे दराज के एक ग्रे बॉल ले लिया'।

समस्या के अनुसार यह आवश्यक है कि घटना से एक हुआ: एबी 'या' बी सूत्र का उपयोग करना, हम प्राप्त: पी (एबी ') = 1/18, पी (A'B) = 10/18।

अब संभावना गुणा करने का फार्मूला इस्तेमाल किया गया था। इसके बाद, इस सवाल का जवाब पता लगाने के लिए, आप उनके समीकरण जोड़ने लागू करने की आवश्यकता:

पी = पी (एबी '+ A'B) = पी (एबी') + P (A'B) = 11/18।

इसी तरह, सूत्र का उपयोग कर, आप इस तरह की समस्याओं को हल कर सकते हैं।

परिणाम

कागज पर "संभाव्यता सिद्धांत", घटनाओं है कि एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाते की संभावना के बारे में जानकारी करने के लिए पेश किया गया। बेशक, नहीं सब कुछ माना गया है, लेकिन प्रस्तुत पाठ के आधार पर, आप सैद्धांतिक रूप से गणित की इस शाखा का परिचय देने के कर सकते हैं। माना जाता है विज्ञान उपयोगी न केवल पेशेवर व्यापार में, लेकिन यह भी रोजमर्रा की जिंदगी में हो सकता है। आप एक घटना की किसी भी संभावना की गणना करने के लिए इसका इस्तेमाल कर सकते हैं।

पाठ भी एक विज्ञान के रूप संभाव्यता सिद्धांत के विकास के इतिहास में महत्वपूर्ण तारीखों, और लोगों को जिसका काम करता है यह में डाल दिया है के नाम से प्रभावित था। यही कारण है कि कैसे मानव जिज्ञासा तथ्य यह है कि लोगों की गिनती करने, यहां तक कि यादृच्छिक घटनाओं सीखा है के लिए प्रेरित किया है। एक बार जब वे सिर्फ इस में रुचि रखते हैं, लेकिन आज यह पहले से ही सभी के लिए जाना जाता है। और कोई भी कह सकता है कि भविष्य में क्या होगा, क्या सिद्धांत से संबंधित अन्य प्रतिभाशाली खोजों विचाराधीन, प्रतिबद्ध होना होगा। लेकिन एक बात निश्चित है - अध्ययन अभी भी यह लायक नहीं है!