ज्यामितीय प्रगति और उसके गुण

ज्यामितीय प्रगति एक विज्ञान के रूप गणित के क्षेत्र में महत्वपूर्ण है, और महत्व लागू किया है, क्योंकि यह एक बेहद विशाल गुंजाइश, में भी है उच्च गणित, उदाहरण के लिए श्रृंखला के सिद्धांत में,। प्रगति पर पहले जानकारी विशेष रूप से Rhind papyrus सात बिल्लियों के साथ सात व्यक्तियों के एक जाने-माने समस्या के रूप में प्राचीन मिस्र से हमारे पास आए,। इस कार्य के भिन्न रूप दूसरे देशों से अलग अलग समय पर कई बार दोहराया गया था। यहां तक कि Velikiy लियोनार्डो Pizansky, (तेरहवें सी।), में अपने उससे बात की "अबैकस की पुस्तक।" फाइबोनैचि के रूप में जाना

तो ज्यामितीय प्रगति एक प्राचीन इतिहास रहा है कि। यह एक अशून्य पहले सदस्य के साथ एक संख्यात्मक अनुक्रम का प्रतिनिधित्व करता है, और प्रत्येक बाद, दूसरे के साथ शुरू एक स्थिर, अशून्य संख्या कि भाजक प्रगति कहा जाता है पर पिछले पुनरावृत्ति सूत्र गुणा करके निर्धारित किया जाता है (यह आम तौर पर पत्र क्यू का उपयोग कर निर्दिष्ट)।
जाहिर है, यह पिछले करने के लिए अनुक्रम के प्रत्येक बाद के अवधि को विभाजित करके पाया जा सकता है, यानि कि जेड 2: z 1 = ... = Zn: जेड एन 1 = .... नतीजतन, ज्यादातर काम प्रगति (Zn) पर्याप्त के लिए यह विभाजक और y 1 क्ष के पहले कार्यकाल के मूल्य जानता है कि।

4 (क्यू <0), तो निम्नलिखित ज्यामितीय प्रगति प्राप्त की है 7 - - 28, 112 - उदाहरण के लिए, 1 = 7, q = z जाने 448, .... आप देख सकते हैं, जिसके परिणामस्वरूप अनुक्रम एक लय नहीं है।

याद है कि नीरस की एक मनमाना अनुक्रम (बढ़ती / घटते) जब अपने सदस्यों में से एक अधिक / पिछले एक से भी कम समय का पालन करें। उदाहरण के लिए, अनुक्रम 2, 5, 9, ..., और -10, -100, -1000, ... - एक लय, दूसरा एक - एक कम ज्यामितीय प्रगति।

इस मामले में जहां q = 1, सभी सदस्यों पाए जाते हैं, और यह निरंतर प्रगति कहा जाता है।

दृश्य था इस प्रकार की प्रगति, यह निम्न आवश्यक और पर्याप्त शर्त, को पूरा करना चाहिए अर्थात्: दूसरे से शुरू अपने सदस्यों में से प्रत्येक पड़ोसी सदस्यों का ज्यामितीय मध्यमान होना चाहिए।

यह गुण कुछ दो आसन्न खोज मनमाना अवधि प्रगति के तहत अनुमति देता है।

एन-वें अवधि तेजी से आसानी से सूत्र द्वारा पाया: Zn = z 1 * क्ष ^ (n-1), z जानते हुए भी पहले सदस्य 1 और हर क्ष।

के बाद से संख्या अनुक्रम राशि है, तो कुछ सरल गणना हमें एक सूत्र के सदस्यों, अर्थात् के पहले प्रगति के योग की गणना करने के लिए दे:

एस एन = - (Zn * क्ष - जेड 1) / (1 - क्यू)।

की जगह, सूत्र में अपनी अभिव्यक्ति मूल्य Zn z 1 * क्ष ^ (n-1) प्रगति का एक दूसरा योग सूत्र प्राप्त करने के लिए: एस एन = - z1 * (क्यू ^ n - 1) / (1 - क्यू)।

मिट्टी गोली खुदाई में मिला: ध्यान के योग्य निम्नलिखित दिलचस्प तथ्य यह है प्राचीन बेबीलोन, की जो छठी को दर्शाता है। ई.पू., उल्लेखनीय रास्ते का योग होता है 1 + 2 + ... + इस घटना के विवरण 1. दसवें शक्ति शून्य करने के लिए 2 के लिए 22 + 29 बराबर अभी तक नहीं पाया गया है।

अपने सदस्यों की एक निरंतर काम करते हैं, अनुक्रम के छोर से समान दूरी पर स्थान दिया गया है - हम ज्यामितीय प्रगति के गुणों में से एक पर ध्यान दें।

देखने के एक वैज्ञानिक बिंदु से विशेष महत्व के, एक अपरिमित ज्यामितीय प्रगति के रूप में ऐसी बात है और इसकी राशि की गणना। कि (yn) मान लिया जाये कि - एक ज्यामितीय प्रगति होने भाजक q, संतोषजनक हालत | क्ष | <1, इसकी मात्रा सीमा की ओर हम पहले से ही अपनी पहली सदस्यों की राशि पता है, n के असीम वृद्धि के साथ करने के लिए भेजा जाएगा, तो यह पर है अनंत आ।

सूत्र का उपयोग करने का एक परिणाम के रूप में इस राशि का पता लगाएं:

एस एन = y 1 / (1- क्यू)।

और, जैसा कि अनुभव से पता चला है, इस प्रगति के स्पष्ट सादगी के लिए एक बहुत बड़ा आवेदन संभावित छिपा हुआ है। उदाहरण के लिए, अगर हम निम्नलिखित कलन विधि के अनुसार वर्गों का एक दृश्य का निर्माण, पिछले एक के मध्य बिन्दुओं को जोड़ने, तो वे एक विभाजक 1/2 होने एक वर्ग अपरिमित ज्यामितीय प्रगति के रूप में। एक ही प्रगति फार्म और त्रिकोण के क्षेत्र, निर्माण के प्रत्येक चरण में प्राप्त की, और उसके योग मूल वर्ग के क्षेत्रफल के बराबर है।