उत्तल बहुभुज। एक उत्तल बहुभुज की परिभाषा। एक उत्तल बहुभुज के विकर्ण

ये ज्यामितीय आकार हमारे चारों तरफ है। उत्तल बहुभुज इस तरह के एक मधुकोश या कृत्रिम (बनाया आदमी) के रूप में, प्राकृतिक रहे हैं। ये आंकड़े कला, वास्तुकला, गहने, आदि में कोटिंग्स के विभिन्न प्रकार के निर्माण में उपयोग किया जाता है उत्तल बहुभुज संपत्ति उनके अंक एक सीधी रेखा है कि ज्यामितीय आंकड़ा के आसन्न कोने की जोड़ी के माध्यम से गुजरता के एक तरफ झूठ है। वहाँ अन्य परिभाषाएं दी गई हैं। यह उत्तल बहुभुज, जो इसके पक्ष में से एक से युक्त किसी भी सीधी रेखा के संबंध में एक भी आधा विमान में व्यवस्थित किया जाता बुलाया।

उत्तल बहुभुज

प्रारंभिक ज्यामिति के दौरान हमेशा अत्यंत सरल बहुभुज इलाज कर रहे हैं। के गुणों को समझने के लिए ज्यामितीय आकार आप अपने प्रकृति को समझने की जरूरत है। यह समझना होगा कि बंद किसी भी लाइन जिसका समाप्त होता है एक ही कर रहे हैं शुरू करने के लिए। और आंकड़ा यह द्वारा गठित, विन्यास की एक किस्म कर सकते हैं। बहुभुज सरल बंद पॉलीलाइन जिसका आसन्न इकाइयों एक सीधी रेखा पर स्थित नहीं हैं कहा जाता है। इसका लिंक और नोड्स, क्रमशः, पक्षों और ज्यामितीय आंकड़ा की सबसे ऊपर। एक साधारण पॉलीलाइन ही एक दूसरे को काटना नहीं चाहिए।

बहुभुज के कोणबिंदु पड़ोसियों कहा जाता है, मामले में वे इसके पक्ष में से एक की छोर हैं। एक ज्यामितीय आंकड़ा है, जो कोने की एक एन-वें नंबर है, और दलों के इसलिए एन-वें संख्या n-gon कहा जाता है। खुद टूटी हुई लाइन सीमा या ज्यामितीय आंकड़ा के समोच्च है। बहुभुज विमान या फ्लैट बहुभुज, अपने सीमित किसी भी विमान के अंतिम भाग का आह्वान किया। ज्यामितीय आंकड़ा के आसन्न पक्षों ही शिखर से होने वाले पॉलीलाइन खंडों कहा जाता है। अगर वे बहुभुज के विभिन्न कोने पर आधारित होते हैं वे पड़ोसियों नहीं होगा।

उत्तल बहुभुज की अन्य परिभाषाओं

प्रारंभिक ज्यामिति में, वहाँ यह दर्शाता है क्या एक उत्तल बहुभुज कहा जाता है, जिसका अर्थ है परिभाषाओं में कई बराबर हैं। इसके अलावा, इन सभी बयानों समान रूप से सही हैं। एक उत्तल बहुभुज एक है कि:

• प्रत्येक खंड के भीतर किसी भी दो अंक जोड़ता है, उस में पूरी तरह से निहित;

• उसमें अपने सभी विकर्णों झूठ;

• किसी भी आंतरिक कोण 180 डिग्री से अधिक नहीं।

बहुभुज हमेशा दो भागों में विमान बिताते हैं। उनमें से एक - सीमित (यह एक सर्कल में संलग्न किया जा सकता है), और अन्य - असीमित। ज्यामितीय आंकड़ा के बाहरी क्षेत्र - पहली भीतरी क्षेत्र कहा जाता है, और दूसरा। कई आधे विमानों - यह बहुभुज के चौराहे (कुल घटक दूसरे शब्दों में) है। इस प्रकार, जो एक बहुभुज के हैं बिंदुओं पर समाप्त होता है होने प्रत्येक खंड पूरी तरह से उसे करने के अंतर्गत आता है।

उत्तल बहुभुज की किस्मों

परिभाषा उत्तल बहुभुज का संकेत नहीं है उनमें से कई प्रकार के होते हैं कि। और उनमें से प्रत्येक कुछ मानदंडों को है। इस प्रकार, उत्तल बहुभुज, जो 180 डिग्री का एक आंतरिक कोण है, थोड़ा उत्तल करने के लिए भेजा। .. एन के बराबर होना चाहिए या एक से अधिक 3. त्रिकोण के प्रत्येक उत्तल है: - चतुर्भुज, पांच - पंचकोण, आदि उत्तल एन-gons से प्रत्येक निम्नलिखित महत्वपूर्ण आवश्यकताओं को पूरा करती उत्तल ज्यामितीय आंकड़ा तीन चोटियों है कि, एक त्रिकोण, चार कहा जाता है। इस प्रकार के ज्यामितीय आंकड़ा जिसमें सभी कोने एक सर्कल पर स्थित हैं, खुदा चक्र कहा जाता है। अगर एक सर्कल के चारों ओर अपने सभी पक्षों उसे छूना वर्णित उत्तल बहुभुज कहा जाता है। दो बहुभुज केवल मामले में बराबर का उपयोग करते समय ओवरले जोड़ा जा सकता है कहा जाता है। फ्लैट बहुभुज है कि इस सीमित ज्यामितीय आंकड़ा बहुभुज विमान (एक विमान भाग) कहा जाता है।

नियमित रूप से उत्तल बहुभुज

नियमित बहुभुज बराबर कोण और पक्षों के साथ ज्यामितीय आकार कहा जाता है। उन्हें अंदर एक बिंदु 0, जो अपने कोने में से प्रत्येक से एक ही दूरी है वहाँ है। यह ज्यामितीय आंकड़ा के केंद्र कहा जाता है। ज्यामितीय आंकड़ा के कोने के साथ केंद्र को जोड़ने लाइन्स apothem कहा जाता है, और उन है कि पार्टियों के साथ बिंदु 0 कनेक्ट - त्रिज्या।

सही आयत - वर्ग। समभुज त्रिकोण समबाहु कहा जाता है। इस तरह के आकार के लिए वहाँ निम्नलिखित नियम है: प्रत्येक उत्तल बहुभुज कोण 180 ° * है (n-2) / n,

जहां n - उत्तल ज्यामितीय आंकड़ा के कोने की संख्या।

किसी भी नियमित बहुभुज के क्षेत्र सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:

एस = P * ज,

जहां पी बहुभुज के सभी पक्षों के आधे राशि के बराबर है, और ज लंबाई apothem है।

गुण उत्तल बहुभुज

उत्तल बहुभुज कुछ गुण होते हैं। इस प्रकार, खंड एक ज्यामितीय आंकड़ा, जरूरी यह में स्थित के किसी भी दो अंक जोड़ता है। सबूत:

उत्तल बहुभुज - कि पी मान लीजिए। दो मनमाना अंक, उदाहरण के लिए, ए और बी, जो पी के हैं एक उत्तल बहुभुज की वर्तमान परिभाषा, इन बातों सीधी रेखा है कि किसी भी दिशा आर नतीजतन, एबी भी इस संपत्ति है और हमेशा आर एक उत्तल बहुभुज में निहित है शामिल है के एक तरफ पर स्थित हैं से ले लो कई त्रिकोण बिल्कुल सब विकर्ण, जो अपने कोने में से एक आयोजित में विभाजित किया जा सकता है।

उत्तल ज्यामितीय आकार कोण

एक उत्तल बहुभुज के कोण - कोण है कि पार्टियों द्वारा गठित कर रहे हैं। अंदर कोनों ज्यामितीय आंकड़ा के अंदर क्षेत्र में हैं। कोण है कि इसके पक्ष जो एक शीर्ष पर मिलती द्वारा बनाई है, उत्तल बहुभुज कोण कहा जाता। आसन्न कोनों ज्यामितीय आंकड़ा के आंतरिक कोनों, बाहरी कहा जाता है। एक उत्तल बहुभुज, इसके अंदर की व्यवस्था के प्रत्येक कोने, है:

180 ° - एक्स

जहां एक्स - कोने के बाहर मूल्य। यह सरल सूत्र इस तरह के ज्यामितीय आकार के किसी भी प्रकार के लिए लागू है।

प्रत्येक उत्तल बहुभुज कोण 180 डिग्री के बीच का अंतर और आंतरिक कोण के मूल्य के बराबर: सामान्य में, बाहर कोनों के लिए नियम का पालन मौजूद हैं। यह -180 ° से 180 ° से लेकर मान हो सकते हैं। नतीजतन, जब भीतरी कोण 120 डिग्री है, उपस्थिति 60 डिग्री के एक मूल्य होगा।

उत्तल बहुभुज की कोणों का योग

एक उत्तल बहुभुज के अन्तःकोणों का योगफल सूत्र द्वारा स्थापित है:

180 ° * (n-2),

जहां n - एन-gon के कोने की संख्या।

एक उत्तल बहुभुज के कोणों का योग काफी बस गणना की जाती है। इस तरह के किसी भी ज्यामितीय आकार पर विचार करें। एक उत्तल बहुभुज में कोणों का योग निर्धारित करने के लिए अन्य कोने करने के लिए अपने कोने में से एक कनेक्ट करने के लिए की जरूरत है। इस कार्रवाई का एक परिणाम के त्रिकोण के रूप में बदल जाता है (एन -2)। यह ज्ञात है कि किसी भी त्रिभुज के कोणों का योग हमेशा 180 डिग्री है। क्योंकि किसी भी बहुभुज में उनकी संख्या के बराबर होती है (n-2), आकृति का अन्तःकोणों का योगफल के बराबर होती है 180 डिग्री एक्स (एन -2)।

उत्तल बहुभुज कोनों राशि, अर्थात्, उन्हें किसी भी दो आसन्न आंतरिक और बाह्य कोण, इस उत्तल ज्यामितीय आकृति में हमेशा 180 डिग्री के बराबर हो जाएगा। इस आधार पर, हम अपने सभी कोनों की राशि का निर्धारण कर सकते हैं:

180 x एन।

आंतरिक कोणों का योग 180 ° * है (एन -2)। तदनुसार, आंकड़ा सूत्र द्वारा निर्धारित सभी बाहरी कोनों की राशि:

180 ° * एन 180 ° - (n-2) = 360 °।

किसी भी उत्तल बहुभुज के बाहरी कोणों का योग हमेशा 360 डिग्री (अपनी भुजाओं की संख्या की परवाह किए बिना) के बराबर हो जाएगा।

एक उत्तल बहुभुज के बाहर कोने आम तौर पर 180 डिग्री और आंतरिक कोण का मूल्य के बीच का अंतर द्वारा प्रतिनिधित्व कर रहे हैं।

एक उत्तल बहुभुज के अन्य गुण

ज्यामितीय आंकड़ों डेटा के बुनियादी गुण इसके अलावा, वे भी अन्य है, जो होते हैं, जब उन्हें निपटने। इस प्रकार, बहुभुज में से किसी एक से अधिक उत्तल एन-gons में विभाजित किया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, इसके पक्ष में से प्रत्येक के लिए जारी है और इन पंक्तियों के साथ सीधे ज्यामितीय आकार में कटौती। कई उत्तल भागों में किसी भी बहुभुज विभाजित संभव है और इतना है कि टुकड़े में से प्रत्येक के शीर्ष अपने कोने के सभी के साथ मेल खाना। एक ज्यामितीय आंकड़ा से एक शीर्ष से सभी विकर्णों के माध्यम से त्रिकोण बनाने के लिए बहुत आसान हो सकता है। इस प्रकार, किसी भी बहुभुज, अंत में, त्रिकोण की एक निश्चित संख्या है, जो इस तरह के ज्यामितीय आकृतियों से संबंधित विभिन्न कार्यों को हल करने में बहुत उपयोगी है में विभाजित किया जा सकता है।

उत्तल बहुभुज की परिधि

एबी, बीसी, सीडी, डी, ईए: पॉलीलाइन के क्षेत्रों, बहुभुज तथाकथित पार्टियों, अक्सर निम्न पत्र के साथ संकेत दिया। कोने ए, बी, सी, डी, ई के साथ एक ज्यामितीय आंकड़ा के इस तरफ। एक उत्तल बहुभुज के भुजाओं की लम्बाई की राशि अपनी परिधि कहा जाता है।

बहुभुज की परिधि

उत्तल बहुभुज में प्रवेश किया और में वर्णित किया जा सकता है। ज्यामितीय आंकड़ा के सभी पक्षों के लिए सर्किल स्पर्श, इसे में खुदा का आह्वान किया। इस बहुभुज वर्णित कहा जाता है। केंद्र चक्र जो बहुभुज में खुदा है एक दिया ज्यामितीय आकार के भीतर कोणों के समद्विभाजक के चौराहे के एक बिंदु है। बहुभुज के क्षेत्रफल के बराबर है:

एस = P * आर,

जहां r - खुदा वृत्त की त्रिज्या, और पी - इस बहुभुज अर्द्धपरिधि।

बहुभुज कोने वाली एक चक्र है, यह पास वर्णित बुलाया। इसके अलावा, इस उत्तल ज्यामितीय आंकड़ा खुदा बुलाया। जो इस तरह के एक बहुभुज के बारे में वर्णन किया गया है चक्र केंद्र, एक चौराहा बिंदु तथाकथित सभी पक्षों midperpendiculars है।

विकर्ण उत्तल ज्यामितीय आकार

एक खंड है कि कोने पड़ोसी नहीं जोड़ता - एक उत्तल बहुभुज के विकर्ण। उनमें से प्रत्येक यह ज्यामितीय आंकड़ा के अंदर है। के विकर्ण की संख्या एन-gon सूत्र के अनुसार सेट है:

एन = n (n - 3) / 2।

एक उत्तल बहुभुज के विकर्ण की संख्या प्रारंभिक ज्यामिति में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। त्रिकोण की संख्या (के) है, जो हर उत्तल बहुभुज टूट सकती है, निम्न सूत्र द्वारा गणना:

K = n - 2।

एक उत्तल बहुभुज के विकर्ण की संख्या हमेशा कोने की संख्या पर निर्भर है।

एक उत्तल बहुभुज का विभाजन

कुछ मामलों में, न काटने वाली विकर्णों के साथ कई त्रिभुजों में एक उत्तल बहुभुज तोड़ने के लिए आवश्यक ज्यामिति कार्यों को हल करने के। यह समस्या एक निश्चित फार्मूला निकाल कर हल किया जा सकता।

समस्या को परिभाषित करना: विकर्ण है कि केवल एक ज्यामितीय आंकड़ा के कोने पर एक दूसरे को काटना द्वारा कई त्रिभुजों में एक उत्तल एन-gon के विभाजन के सही तरह कहते हैं।

समाधान: मान लीजिए कि P1, P2, पी 3, ..., Pn - एन-gon के शीर्ष। संख्या xn - अपने विभाजन की संख्या। परिणामी विकर्ण ज्यामितीय आंकड़ा पाई Pn पर विचार करें। नियमित रूप से विभाजन में से किसी में पी 1 Pn एक विशेष त्रिकोण P1 पाई Pn, जिसमें 1

चलो मैं = 2 नियमित विभाजन के एक समूह, हमेशा विकर्ण P2 Pn युक्त है। विभाजन की संख्या है कि यह में शामिल किए गए हैं, विभाजन (n-1) gon के P2 पी 3 पी 4 ... Pn की संख्या के बराबर। दूसरे शब्दों में, यह XN-1 के बराबर है।

मैं = 3, तो अन्य समूह विभाजन हमेशा एक विकर्ण पी 3 P1 और पी 3 Pn में शामिल होंगे तो। सही विभाजन है कि समूह में शामिल हैं की संख्या, विभाजन की संख्या (n-2) gon के P3, P4 ... Pn के साथ मेल खाना होगा। दूसरे शब्दों में, यह Xn -2 किया जाएगा।

आइए मैं = 4, उसके बाद सही विभाजन के बीच त्रिकोण एक त्रिकोण P1 Pn पी 4, जो चौकोर P1 P2 पी 3 पी 4, (एन -3) gon के पी 5 पी 4 ... Pn सटना जाएगा शामिल करने के लिए बाध्य है। सही विभाजन की संख्या में इस तरह के चतुर्भुज X4 बराबर होती है, और विभाजन की संख्या (एन -3) gon के Xn -3 बराबर होती है। पूर्वगामी के आधार पर हम कह सकते हैं कि कि इस समूह में शामिल हैं नियमित रूप से विभाजन की कुल संख्या के बराबर होती है Xn -3 X4। अन्य समूहों, जिसमें मैं = 4, 5, 6, 7 ... 4 XN-X5 में शामिल होंगे, xn -5 X6, xn -6 ... X7 नियमित विभाजन।

i = n-2, किसी दिए गए समूह में सही विभाजन की संख्या समूह में विभाजन की संख्या है, जिसमें मैं = 2 (दूसरे शब्दों में, के बराबर होती है Xn -1) के साथ मेल खाना करेगा।

के बाद से एक्स 1 = X2 = 0, X3 = 1 और एक्स 4 = 2, ..., उत्तल बहुभुज के विभाजन की संख्या है:

Xn = xn -1 + xn -2 + xn -3, xn-X4 + X5 4 ... + एक्स 5 + 4 xn-xn एक्स 4 + 3 + 2 xn-xn -1।

उदाहरण:

X5 = एक्स 4 + X3 + X4 = 5

X6 = एक्स 4 + X5 + X4 + X5 = 14

X7 + X5 = X6 + X4 * X4 + X5 + X6 = 42

X7 = X8 + X6 + X4 * X5 + X4 * X5 + X6 + X7 = 132

एक विकर्ण के भीतर अन्तर्विभाजक सही विभाजन की संख्या

जब अलग-अलग मामलों की जाँच, यह माना जा सकता है कि उत्तल एन-gon के विकर्ण की संख्या इस चार्ट पैटर्न (एन -3) के सभी विभाजनों के उत्पाद के बराबर है।

इस धारणा के सबूत: लगता है कि P1n = Xn * (एन -3), तो किसी भी एन-gon में विभाजित किया जा सकता है (n-2) एक त्रिकोण है। इस मामले में उन में से एक खड़ी जा सकता है (एन -3) -chetyrehugolnik। इसी समय, प्रत्येक चौकोर विकर्ण है। इस उत्तल ज्यामितीय आंकड़ा के बाद से दो विकर्ण किया जा सकता है, जिसका अर्थ है कि किसी भी (एन -3) -chetyrehugolnikah अतिरिक्त संचालित कर सकता है विकर्ण (एन -3)। इस आधार पर, हम निष्कर्ष निकाल सकते हैं किसी भी उचित विभाजन पर (एन -3) -diagonali बैठक इस कार्य की आवश्यकताओं के लिए एक अवसर है।

क्षेत्र उत्तल बहुभुज

अक्सर, प्रारंभिक ज्यामिति के विभिन्न समस्याओं को सुलझाने में वहाँ एक उत्तल बहुभुज के क्षेत्र का निर्धारण करने की आवश्यकता है। मान लें कि (क्सी। यी), मैं = 1,2,3 ... n बहुभुज के सभी पड़ोसी कोने के निर्देशांक के अनुक्रम का प्रतिनिधित्व करता है, कोई आत्म चौराहों रही है। इस मामले में, अपने क्षेत्र निम्नलिखित सूत्र द्वारा गणना की जाती है:

_{एस = ½ (Σ (एक्स मैं} + X i + ₁₎ (वाई _मैं Y _i + _{1) +),}

जिसमें (एक्स _1, वाई _{1) = (एक्स n +1, वाई} n + _1)।