पाइथागोरस प्रमेय साबित करने के लिए अलग अलग तरीकों से: उदाहरण, विवरण और समीक्षा

एक बात निश्चित है कि एक सौ प्रतिशत प्रश्न है, जो कर्ण के वर्ग के बराबर है, किसी भी वयस्क निर्भीकता का जवाब के लिए है: "। पैरों के वर्गों का योग" इस प्रमेय मजबूती से हर शिक्षित व्यक्ति के मन में फंस गया है, लेकिन तुम सिर्फ यह साबित करने के किसी से पूछना है, और वहाँ कठिनाइयों हो सकता है। इसलिए, हमें याद करते हैं और पाइथागोरस प्रमेय साबित करने के लिए अलग अलग तरीकों पर विचार करें।

जीवनी का अवलोकन

पाइथागोरस प्रमेय लगभग हर कोई परिचित है, लेकिन किसी कारण, मानव जीवन है, जो यह प्रकाश में बना दिया है के लिए है, इसलिए लोकप्रिय नहीं है। इस सुधारी जा सकने वाली है। इसलिए, इससे पहले कि आप पाइथागोरस प्रमेय साबित करने के लिए अलग अलग तरीकों का पता लगाने, हम संक्षेप में उनके व्यक्तित्व से परिचित होना चाहिए।

पाइथागोरस - दार्शनिक, गणितज्ञ, प्राचीन ग्रीस मूल रूप से दार्शनिक। आज यह किंवदंतियों है कि इस महान व्यक्ति की स्मृति में स्थापित किया गया है से अपनी आत्मकथा भेद करने के लिए बहुत मुश्किल है। लेकिन यह उनके अनुयायियों के कार्यों से इस प्रकार है, Pifagor Samossky समोस के द्वीप पर पैदा हुआ था। उनके पिता एक संगतराश सामान्य था, लेकिन उसकी माँ एक कुलीन परिवार से आया है।

पौराणिक कथा के अनुसार, पाइथागोरस के जन्म पाइथिया नामित औरत, में जिसका सम्मान और लड़के नामित की भविष्यवाणी की। एक लड़के के जन्म की उसकी भविष्यवाणी के अनुसार मानव जाति के लाभ और अच्छाई का एक बहुत लाना होगा। यही कारण है कि वास्तव में उसने ऐसा किया।

प्रमेय के जन्म

अपनी जवानी में पाइथागोरस से ले जाया गया Samos मिस्र के नाम से जाना जाता संतों के साथ पूरा करने के लिए मिस्र के लिए। उन लोगों के साथ बैठक के बाद उन्होंने प्रशिक्षण में भर्ती कराया, और पता था कि गया था, जहां मिस्र के दर्शन, गणित और चिकित्सा के सभी महान उपलब्धियों।

यह शायद महिमा और पिरामिड की सुंदरता से प्रेरित मिस्र पाइथागोरस में था और उसकी महान सिद्धांत बनाया। यह पाठकों झटका सकता है, लेकिन आधुनिक इतिहासकारों का मानना है कि पाइथागोरस अपने सिद्धांत साबित नहीं हुआ। और केवल अनुयायियों जो बाद में पूरा सभी आवश्यक गणितीय गणना के अपने ज्ञान प्रदान किया।

यह जो कुछ भी था, अब यह इस प्रमेय का सबूत है, लेकिन कई के एक से अधिक विधि जाना जाता है। आज ही कैसे ग्रीक लोगों ने अपने गणना किए गए अनुमान लगा सकते हैं, इसलिए वहाँ अलग अलग तरीकों से पाइथागोरस प्रमेय का सबूत को देखने के लिए कर रहे हैं।

पाइथागोरस प्रमेय

किसी भी गणना शुरू करने से पहले, आप पता लगाने के लिए जो सिद्धांत को साबित करने की जरूरत है। पाइथागोरस प्रमेय है: "एक त्रिकोण कोण में से एक ^{के बारे में} 90 है, जिसमें में, पैरों के वर्गों का योग कर्ण के वर्ग के बराबर होती है।"

कुल में वहाँ पाइथागोरस प्रमेय साबित करने के लिए 15 विभिन्न तरीके हैं। यह एक नहीं बल्कि उच्च आंकड़ा है, इसलिए ध्यान उनमें से सबसे लोकप्रिय भुगतान करते हैं।

विधि एक

सबसे पहले, हम निरूपित है कि हम दिया जाता है। इन आंकड़ों पाइथागोरस प्रमेय का सबूत के अन्य तरीकों के लिए विस्तारित किया जाएगा, तो यह सभी मौजूदा पदों याद करने के लिए सही है।

मान लें त्रिकोण दिया समकोण पैर एक साथ, और एक कर्ण ग के बराबर। पहली विधि साक्ष्य के आधार पर किया जाता है कि, एक सही वर्ग खत्म करने के लिए आवश्यक त्रिकोण की वजह से।

ऐसा करने के लिए, आप एक क्षेत्र में एक पैर खत्म करने के लिए बराबर है, और इसके विपरीत के एक पैर की लंबाई की जरूरत है। तो यह वर्ग के दो बराबर भुजाओं होना चाहिए। हम केवल दो समानांतर रेखाएं आकर्षित कर सकते हैं, और वर्ग के लिए तैयार है।

अंदर, जिसके परिणामस्वरूप आंकड़े एक पक्ष मूल त्रिकोण के कर्ण के बराबर के साथ एक और वर्ग आकर्षित करने के लिए की जरूरत है। इस के लिए एसी की कोने समाप्त करने और संचार समानांतर के साथ दो बराबर खंडों आकर्षित करने के लिए आवश्यक है। इस प्रकार एक वर्ग, जिनमें से एक है मूल आयताकार कर्ण त्रिकोण के तीन तरफ प्राप्त करने। डोकर्टी केवल चौथे खंड बनी हुई है।

जिसके परिणामस्वरूप पैटर्न के आधार पर यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि वर्ग के बाहरी क्षेत्रफल के बराबर है (ए + बी) ^2। आप आंकड़े पर गौर करते हैं, तो आप देख सकते हैं कि आंतरिक वर्ग के अलावा यह चार समकोण त्रिकोण है। प्रत्येक के क्षेत्र 0,5av है।

इसलिए, क्षेत्र के बराबर है: 4 * 0,5av + स ² = एक ² + 2AV

इसलिए, (ए + बी) ² = c ² + 2AV

और इसलिए, ² के साथ = एक ² + ²

इस प्रमेय साबित होता है।

विधि दो: समान त्रिकोण

यह सूत्र पाइथागोरस प्रमेय का सबूत के इन त्रिकोण के अनुभाग ज्यामिति अनुमोदन के आधार पर प्राप्त किया गया है। यह कहा गया है कि एक समकोण त्रिकोण के पैरों - अपने कर्ण को औसत आनुपातिक और कर्ण की लंबाई, शीर्ष ⁹⁰ से ^{निकलती।}

प्रारंभिक डेटा ही कर रहे हैं, तो सबूत के साथ तुरंत शुरू करते हैं। खंड AB सीडी के किनारे करने के लिए खड़ा ड्रा। ऊपर अनुमोदन त्रिकोण के पैरों के बराबर हैं के आधार पर:

एसी = √AV * ई, सीबी = √AV * डीवी।

कैसे पाइथागोरस प्रमेय साबित करने के लिए इस सवाल का जवाब करने के लिए, सबूत दोनों असमानताओं के वर्ग द्वारा कराई जानी चाहिए।

एसी ² = एबी * बीपी और सीबी ² = एबी * डीवी

अब आप जिसके परिणामस्वरूप असमानता को जोड़ने की जरूरत है।

ए.यू. ^{2 2} + सीबी = एबी * (बीपी * एट) जहां बीपी = एबी + एट

ऐसा नहीं है कि पता चला है:

एसी ² + ² = सीबी एबी * एबी

और इसलिए:

ए.यू. ^{2 2} + सीबी = ² एबी

पाइथागोरस प्रमेय का सबूत और इसके समाधान के विभिन्न तरीकों के बहुआयामी इस समस्या का दृष्टिकोण की जरूरत है। हालांकि, इस विकल्प का सबसे सरल से एक है।

गणना का एक अन्य तरीका

पाइथागोरस प्रमेय साबित करने के लिए अलग अलग तरीकों का विवरण रूप में लंबे समय के रूप में सबसे खुद को अभ्यास करने के लिए शुरू कर दिया है नहीं है कहने के लिए कुछ भी नहीं हो सकता है। तकनीक से कई न केवल गणित, लेकिन यह भी मूल त्रिकोण नए आंकड़े के निर्माण शामिल है।

इस मामले में यह एक और समकोण त्रिभुज आईआरआर की ई.पू. पैर खत्म करने के लिए आवश्यक है। तो अब वहाँ पैर आम सूर्य के साथ दो त्रिकोण हैं

यह जानते हुए कि समान आंकड़े के क्षेत्रों उनसे मिलती-जुलती रैखिक आयाम है, तो के वर्गों के रूप में एक अनुपात है:

एस _{एबीसी} * ² - एस ² * _{एचपीए} = एस * और _AVD ² - एस ² * एक _VSD

_{एबीसी} * एस ⁽² -c ²⁾ = एक ² * (एस _AVD एस _VVD)

² करने वाली ² = एक ²

² = एक ² + ²

क्योंकि ग्रेड 8 पाइथागोरस प्रमेय का सबूत के विभिन्न तरीकों की, इस विकल्प को शायद ही उपयुक्त है, तो आपको निम्न प्रक्रिया का उपयोग कर सकते।

सबसे आसान तरीका है पाइथागोरस प्रमेय साबित करने के लिए। समीक्षा

यह इतिहासकारों द्वारा विश्वास किया जाता है, इस विधि पहले प्राचीन ग्रीस में प्रमेय के प्रमाण के लिए इस्तेमाल किया गया था। उन्होंने कहा कि सबसे आसान के रूप में यह बिल्कुल नहीं भुगतान की आवश्यकता नहीं है। आप सही तरीके से एक चित्र बनाने हैं, तो दावा है कि एक ² + ² = c ^2, यह स्पष्ट रूप से देखा जाएगा का सबूत।

नियम और इस प्रक्रिया के लिए की स्थिति पिछले एक से थोड़ा अलग होगा। समद्विबाहु - प्रमेय साबित करने के लिए, कि समकोण त्रिभुज एबीसी मान।

कर्ण एसी वर्ग की दिशा में ले और उसके तीन तरफ docherchivaem। इसके अलावा यह आवश्यक है एक वर्ग बनाने के लिए दो विकर्ण लाइनों खर्च करने के लिए। इस प्रकार, यह अंदर चार समभुज त्रिकोण मिलता है।

Catete एबी और सीडी तक चौराहे पर डोकर्टी की जरूरत है और उनमें से प्रत्येक में एक विकर्ण लाइन पर पकड़ के रूप में। पहले सिरे एक से एक लाइन खींचें, एक दूसरे - सी से

अब हम जिसके परिणामस्वरूप छवि पर विशेष ध्यान दें की जरूरत है। कर्ण के रूप में एसी चार त्रिकोण मूल के बराबर है, लेकिन Catete दो में, यह इस प्रमेय की सच्चाई के बारे में बात करते हैं।

वैसे, इस तकनीक, पाइथागोरस प्रमेय का सबूत है, और करने के लिए धन्यवाद प्रसिद्ध मुहावरा पैदा हुआ था: "। सभी दिशाओं में पाइथागोरस पैंट बराबर हैं"

जे सबूत। गारफील्ड

Dzheyms Garfild - संयुक्त राज्य अमेरिका के बीसवें राष्ट्रपति। इसके अलावा, उन्होंने इतिहास में अपनी छाप छोड़ी है के रूप में संयुक्त राज्य अमेरिका के शासक, वह भी एक प्रतिभाशाली आत्म सिखाया था।

अपने कैरियर की शुरुआत में, वह लोक स्कूल में एक नियमित शिक्षक था, लेकिन जल्द ही उच्च शिक्षा के संस्थानों में से एक के निदेशक बने। आत्म विकास के लिए इच्छा और उसे सक्षम पाइथागोरस के प्रमेय के प्रमाण का एक नया सिद्धांत का प्रस्ताव। प्रमेय और इसके समाधान का एक उदाहरण इस प्रकार है।

पहले यह कागज दो आयताकार त्रिकोण ताकि एक पैर जिनमें से बाद के एक निरंतरता था पर आकर्षित करने के लिए आवश्यक है। इन त्रिकोण के कोने एक trapeze हो रही अंत से जोड़ा जाना चाहिए।

के रूप में जाना जाता है, एक समलम्ब के क्षेत्र में अपनी आधार और उंचाई का आधा-राशि के उत्पाद के बराबर है।

एस = ए + बी / 2 * (ए + बी)

अगर हम तीन त्रिकोण से बना एक व्यक्ति के रूप में जिसके परिणामस्वरूप समलम्ब, पर विचार करें, अपने क्षेत्र के रूप में निम्नानुसार पाया जा सकता है:

एस = aw / 2 * 2 + ^2/2

अब यह दो मूल अभिव्यक्ति बराबर करने के लिए आवश्यक है

2AV / 2 + ग / 2 = (ए + बी) ^2/2

² = एक ² + ²

पाइथोगोरस के बारे में और कैसे साबित करने के लिए आप एक ही मात्रा पाठ्यपुस्तक नहीं लिख सकते हैं। लेकिन यह मतलब है जब कि ज्ञान व्यवहार में लागू नहीं किया जा सकता है?

पाइथागोरस प्रमेय का व्यावहारिक अनुप्रयोग

दुर्भाग्य से, आधुनिक स्कूल के पाठ्यक्रम में केवल ज्यामितीय समस्याओं में इस प्रमेय के उपयोग के लिए प्रदान करता है। स्नातक जल्द ही स्कूल दीवारों छोड़ देंगे, और जानते हुए भी नहीं, और कैसे वे व्यवहार में अपने ज्ञान और कौशल को लागू कर सकते हैं।

वास्तव में, उनके दैनिक जीवन प्रत्येक कर सकते हैं में पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करें। और न केवल व्यावसायिक गतिविधि में, लेकिन यह भी साधारण घर के काम में। कुछ मामलों में जहां पाइथागोरस प्रमेय और कैसे साबित करने के लिए यह अत्यंत आवश्यक हो सकता है पर विचार करें।

संचार प्रमेयों और खगोल विज्ञान

यह प्रतीत होता है कि वे सितारों और कागज पर त्रिकोण से जोड़ा जा सकता। वास्तव में, खगोल विज्ञान - जिसमें एक वैज्ञानिक क्षेत्र में व्यापक रूप से पाइथागोरस प्रमेय का इस्तेमाल किया।

उदाहरण के लिए, अंतरिक्ष में प्रकाश किरण के आंदोलन पर विचार करें। यह ज्ञात है कि प्रकाश एक ही गति से दोनों दिशाओं में यात्रा करता है। एबी प्रक्षेपवक्र है, जो प्रकाश की किरण ले जाता है l कहा जाता है। और आधे समय प्रकाश के लिए आवश्यक बी बात करने के लिए बिंदु A से प्राप्त करने के लिए, हम कहते हैं टी। और बीम की गति - सी। ऐसा लगता है कि: ग * टी = एल

यदि आप किसी अन्य विमान के इस एक ही किरण को देखें, तो उदाहरण के लिए, एक अंतरिक्ष जहाज है, जो, एक v गति के साथ चलता है तो इस तरह के पर्यवेक्षण निकायों के तहत अपनी गति बदल जाएगा। हालांकि, यहां तक तय तत्वों विपरीत दिशा में एक वेग v साथ आ जाएगा।

मान लीजिए हास्य लाइनर चल सही। फिर अंक ए और बी, जो बीम के बीच फंसे है बाईं ओर चले जाएंगे। यही नहीं, जब बिंदु A से बीम चाल बी बात करने के लिए, बात एक समय ले जाने के लिए, और, तदनुसार, प्रकाश एक नया बिंदु सी में आया है आधा दूरी जिस बिंदु पर एक ले जाया गया है खोजने के लिए, यह आधे बीम यात्रा के समय में जहाज की गति गुणा करने के लिए आवश्यक है (टी ')।

d = टी '* v

और कितनी दूर उस समय में प्रकाश की किरण पारित करने के लिए नई बीच एस के आधे रास्ते बिंदु और निम्नलिखित अभिव्यक्ति चिह्नित करने के लिए की जरूरत है पा रहा था खोजने के लिए:

एस = ग * टी '

अगर हम सोच भी है कि प्रकाश सी और बी, साथ ही अंतरिक्ष जहाज की बात - एक समद्विबाहु त्रिकोण के शीर्ष है, लाइनर के लिए बिंदु A से खंड दो समकोण त्रिभुजों में इसे विभाजित होगा। इसलिए, पाइथागोरस प्रमेय के लिए धन्यवाद दूरी है कि प्रकाश की किरण पारित करने में सक्षम था पा सकते हैं।

एस = एल ^{2 2} + डी ²

यह उदाहरण है क्योंकि केवल कुछ ही भाग्यशाली व्यवहार में यह प्रयास करने के लिए किया जा सकता है, जाहिर है, नहीं सबसे अच्छा है। इसलिए, हम इस प्रमेय के अधिक सांसारिक अनुप्रयोगों पर विचार करें।

त्रिज्या मोबाइल संकेत संचरण

आधुनिक जीवन स्मार्टफोन के अस्तित्व के बिना कल्पना करना असंभव है। लेकिन उनमें से कितने अगर वे मोबाइल के माध्यम से ग्राहकों को कनेक्ट करने में असमर्थ थे proc करने के लिए होगा?!

मोबाइल संचार की गुणवत्ता सीधे ऊंचाई, जिस पर मोबाइल ऑपरेटर होने के लिए एंटीना पर निर्भर करता है। आदेश यह पता लगाने की कितनी दूर मोबाइल फोन के टावरों से दूर संकेत प्राप्त कर सकते हैं के लिए, आपको पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग कर सकते हैं।

आप एक निश्चित टावर की अनुमानित ऊंचाई को खोजने के लिए, इतना है कि यह 200 किलोमीटर की परिधि में संकेत वितरित कर सकते हैं चाहते हैं।

एबी (टावर की ऊंचाई) = x;

सूर्य (सिग्नल त्रिज्या) = 200 किमी;

OC (पृथ्वी की त्रिज्या) = 6380 किमी;

यहां

ओबी = OA + AVOV = r + x

पाइथागोरस प्रमेय को लागू करना, हम यह पता लगाने क्या न्यूनतम टॉवर ऊंचाई 2.3 किलोमीटर की दूरी पर होना चाहिए।

घर में पाइथागोरस प्रमेय

अजीब तरह से पर्याप्त, पाइथागोरस प्रमेय ऐसे कैबिनेट डिब्बे की ऊंचाई के निर्धारण, उदाहरण के लिए के रूप में घरेलू मामलों में भी उपयोगी हो सकता है। पहली नज़र में,, इस तरह के जटिल गणनाओं का उपयोग करने के क्योंकि तुम सिर्फ एक टेप उपाय के साथ अपने माप ले जा सकते हैं कोई जरूरत नहीं है। लेकिन कई क्यों निर्माण प्रक्रिया, कुछ समस्याओं देखते हैं अगर सभी मापन वास्तव में आ गए।

तथ्य यह है कि कोठरी एक क्षैतिज स्थिति में जा रहा है और फिर उठाया और दीवार के लिए घुड़सवार है। इसलिए, डिजाइन स्वतंत्र रूप से और ऊंचाई में प्रवाह चाहिए, और विकर्ण रिक्त स्थान को उठाने की प्रक्रिया में कैबिनेट के बगल की दीवार।

मान लीजिए आप 800 मिमी गहराई का एक अलमारी है। 2600 मिमी - छत फर्श से दूरी। अनुभवी कैबिनेट निर्माता का कहना है कि बाड़े की ऊंचाई 126 मिमी कक्ष की ऊंचाई से कम पर होना चाहिए। लेकिन 126mm पर क्यों? निम्न उदाहरण पर विचार करें।

कैबिनेट के आदर्श आयाम के तहत पाइथागोरस प्रमेय की कार्रवाई की जाँच करेगा:

√AV एसी = ² + ² √VS

ए.यू. = √2474 ² 800 ² = 2600 मिमी - सभी जमा होते है।

मान लीजिए कि कैबिनेट की ऊंचाई 2474 मिमी और 2505 मिमी के बराबर नहीं है करते हैं। तब:

ए.यू. = √2505 ² + √800 = 2629 मिमी ^2।

नतीजतन, इस कैबिनेट कमरे में स्थापना के लिए उपयुक्त नहीं है। जब इसकी सीधे बैठने की स्थिति उठाया के बाद से उसके शरीर को नुकसान हो सकता है।

शायद विभिन्न वैज्ञानिकों द्वारा पाइथागोरस प्रमेय साबित करने के लिए अलग अलग तरीकों से माना जाता है, हम निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि यह सच है की तुलना में अधिक है। अब आप अपने दैनिक जीवन में जानकारी का उपयोग, और पूरी तरह से सुनिश्चित करें कि सभी गणना न केवल उपयोगी होते हैं, लेकिन यह भी सच हो सकता है।