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नियमित रूप से बहुकोणीय आकृति: तत्वों समरूपता और क्षेत्र

ज्यामिति सुंदर, क्योंकि बीजगणित है, जो हमेशा स्पष्ट नहीं है के विपरीत क्यों और क्या आपको लगता है, एक दृश्य वस्तु देता है। विभिन्न निकायों के इस अद्भुत दुनिया नियमित बहुकोणीय आकृति सजाना।

नियमित रूप से बहुकोणीय आकृति पर सामान्य जानकारी

कई, नियमित रूप से polyhedrons के अनुसार, या के रूप में वे प्लेटो ठोस कहा जाता है, अद्वितीय गुणों के अधिकारी। साथ इन वस्तुओं कई वैज्ञानिक परिकल्पना जुड़ा हुआ है। जब आप शरीर के ज्यामितीय आंकड़ों का अध्ययन करने के लिए शुरू, आपको लगता है कि लगभग नियमित रूप से बहुकोणीय आकृति के रूप में इस तरह के एक अवधारणा के बारे में कुछ भी पता नहीं है। स्कूल में इन वस्तुओं की प्रस्तुति हमेशा दिलचस्प नहीं है, इतने सारे भी याद नहीं कि वे क्या कहा जाता था। ज्यादातर लोगों की स्मृति में यह सिर्फ एक घन है। शरीर ज्यामिति में से कोई भी नियमित polyhedrons के रूप में ऐसी पूर्णता के अधिकारी नहीं है। इन सभी ज्यामितीय निकायों के नाम प्राचीन ग्रीस से जन्म लिया है। वे चेहरे की संख्या का प्रतिनिधित्व करते हैं: चतुर्पाश्वीय - चार तरफा, षट्फलक - एलेन, octahedron - अष्टकोण, द्वादशफ़लक - dodecahedral, विंशतिफलक - icosahedral। इन ज्यामितीय शरीर के सभी ब्रह्मांड के प्लेटो के गर्भाधान में एक महत्वपूर्ण स्थान है। - आग, विंशतिफलक - पानी घन - पृथ्वी, octahedron - हवा चतुर्पाश्वीय: उनमें से चार तत्वों या संस्थाओं सन्निहित हैं। Dodecahedron सब बातों सन्निहित है। उन्होंने कहा कि मुख्य माना जाता था, ब्रह्मांड के प्रतीक के रूप में।

एक बहुतल की अवधारणा का सामान्यीकरण

Polyhedron ऐसी है कि बहुभुज की एक निश्चित संग्रह है:

  • बहुभुज में से किसी का पक्ष से प्रत्येक एक ही समय एक ही तरफ एक और बहुभुज का केवल एक ही पक्ष में है,
  • बहुभुज आप बहुभुज के सिवा आसन्न पास करके दूसरे के लिए चल सकता है में से प्रत्येक से।

पसलियों - बहुतल गठन बहुभुज अपने चेहरे और उनके पक्ष प्रतिनिधित्व करते हैं। बहुकोणीय आकृति कोने कोने बहुभुज की कर रहे हैं। अवधि बहुभुज फ्लैट बंद पोलीलाइंस को समझते हैं, तो एक बहुतल की एक परिभाषा में आते हैं। इस मामले में जहां इस अवधि द्वारा विमान है कि टूटी हुई लाइनों से घिरा है का एक हिस्सा होती है में, यह बहुभुज टुकड़े से मिलकर सतह में माने जाएँगे। उत्तल बहुतल शरीर विमान के एक तरफ झूठ बोल रही है, उसके चेहरे से सटे कहा जाता है।

एक बहुतल और उसके तत्वों की एक और परिभाषा

Polyhedron बहुभुज से मिलकर सतह कहा जाता है, जो ज्यामितीय शरीर सीमित करता है। वे हैं:

  • गैर उत्तल;
  • उत्तल (सही और गलत)।

नियमित बहुतल - अधिक से अधिक समरूपता के साथ एक उत्तल बहुतल है। नियमित रूप से बहुकोणीय आकृति के तत्वों:

  • चतुर्पाश्वीय: 6 पसलियों 4 चेहरे 5 कोने;
  • षट्फलक (घन) 12, 6, 8,
  • द्वादशफ़लक 30, 12, 20;
  • octahedron 12, 8, 6;
  • विंशतिफलक 30, 20, 12।

यूलर प्रमेय

यह स्थापित करता है किनारों, कोने और फलकों की संख्या के बीच एक रिश्ता सांस्थितिकी एक क्षेत्र के बराबर हैं। कोने और फलकों की संख्या (बी + D) है विभिन्न नियमित बहुकोणीय आकृति जोड़ना और उन्हें पसलियों की संख्या के साथ तुलना करते समय, एक नियम स्थापित करने के लिए संभव है: कोने और किनारों (पी) 2. की वृद्धि हुई की संख्या के बराबर फलकों की संख्या का योग यह एक सरल सूत्र प्राप्त करने के लिए संभव है:

  • बी + डी = पी + 2।

यह फार्मूला सभी उत्तल बहुकोणीय आकृति लिए मान्य है।

बुनियादी परिभाषाओं

एक नियमित बहुतल की अवधारणा एक वाक्य में वर्णन करने के लिए असंभव है। इसे और अधिक मूल्यवान और मात्रा है। एक शरीर में इस तरह के रूप में पहचाना जाने, यह आवश्यक है कि यह परिभाषाओं के एक नंबर से मिलता है। इस प्रकार, एक ज्यामितीय शरीर एक नियमित बहुतल जब इन शर्तों को पूरा कर रहे हैं हो जाएगा:

  • यह उत्तल है;
  • पसलियों के एक ही नंबर अपने कोने में से प्रत्येक में अभिसरण;
  • उसके के सभी पहलुओं - नियमित बहुभुज, एक दूसरे के बराबर;
  • सभी डिहेड्रल कोण बराबर हैं।

नियमित रूप से बहुकोणीय आकृति के गुण

नियमित बहुकोणीय आकृति के 5 विभिन्न प्रकार हैं:

  1. घन (षट्फलक) - यह एक फ्लैट सुप्रीम कोण 90 डिग्री है। यह एक 3 तरफा कोण है। राशि चेहरा 270 ° के शीर्ष पर कोण।
  2. चतुर्पाश्वीय - 60 डिग्री - के फ्लैट सुप्रीम कोण। यह एक 3 तरफा कोण है। 180 ° - राशि चेहरा शीर्ष पर कोण।
  3. Octahedron - 60 डिग्री - के फ्लैट सुप्रीम कोण। यह एक चार पक्षीय कोण है। 240 ° - राशि चेहरा शीर्ष पर कोण।
  4. Dodecahedron - 108 डिग्री के एक फ्लैट सुप्रीम कोण। यह एक 3 तरफा कोण है। 324 ° - राशि चेहरा शीर्ष पर कोण।
  5. विंशतिफलक - 60 डिग्री - इसके बारे में एक फ्लैट सुप्रीम कोण है। यह पांच तरफ से निकले कोण है। राशि चेहरा 300 ° के शीर्ष पर कोण।

नियमित रूप से बहुकोणीय आकृति का क्षेत्र

ज्यामितीय निकायों की सतह क्षेत्र (एस) पहलुओं की संख्या (G) से गुणा एक नियमित बहुभुज क्षेत्र के रूप में की जाती है:

  • एस = (क: 2) x 2 जी CTG π / p।

एक नियमित बहुतल की मात्रा

यह मान एक नियमित रूप से पिरामिड जिसका आधार एक नियमित बहुभुज, चेहरे की संख्या है की मात्रा गुणा किया जाता है, और इसकी ऊंचाई क्षेत्र (आर) की खुदा त्रिज्या है:

  • वी = 1: 3Rs।

नियमित रूप से बहुकोणीय आकृति की मात्रा

किसी अन्य ज्यामितीय ठोस, नियमित रूप से बहुकोणीय आकृति की तरह अलग अलग मात्रा में है। नीचे सूत्रों जिसके द्वारा वे गणना कर सकते हैं कर रहे हैं:

  • चतुर्पाश्वीय: α एक्स 3√2: 12;
  • octahedron: α एक्स 3√2: 3;
  • विंशतिफलक; α x 3;
  • षट्फलक (घन): α x 5 x 3 x (3 + √5): 12;
  • द्वादशफ़लक: α x 3 (15 + 7√5): 4।

नियमित रूप से बहुकोणीय आकृति के तत्वों

षट्फलक और octahedron दोहरी ज्यामितीय निकाय हैं। दूसरे शब्दों में, वे घटना में एक दूसरे से बाहर निकलना हो सकता है कि एक के केन्द्रक दूसरे के ऊपर, और इसके विपरीत के रूप में लिया जाता है। इसके अलावा दोहरी विंशतिफलक और द्वादशफ़लक हैं। खुद ही चतुर्पाश्वीय दोहरी है। यूक्लिड के विधि के अनुसार घन के चेहरे पर "छतों" का निर्माण करके एक द्वादशफ़लक षट्फलक से प्राप्त किया जा सकता है। चतुर्पाश्वीय घन के किसी भी कोने 4, किनारे के साथ नहीं आसन्न जोड़े हैं। षट्फलक (घन) प्राप्त किया जा सकता है, और अन्य नियमित बहुकोणीय आकृति से। तथ्य यह है कि बावजूद नियमित बहुभुज असंख्य, नियमित रूप से बहुकोणीय आकृति देखते हैं, वहाँ केवल 5 कर रहे हैं।

नियमित बहुभुज की त्रिज्या

इन ज्यामितीय निकायों में से प्रत्येक के साथ जुड़े हुए गाढ़ा क्षेत्रों 3 हैं:

  • कोने के माध्यम से गुजर वर्णित;
  • इसे के बीच में अपने चेहरे में से प्रत्येक के बारे में लिखा हुआ;
  • मंझला बीच में सभी किनारों के विषय में।

क्षेत्र निम्नलिखित सूत्र द्वारा वर्णित की त्रिज्या गणना की जाती है:

  • आर एक =: 2 एक्स TG π / जी एक्स TG θ: 2।

खुदा गोलक की त्रिज्या गणना निम्न प्रकार है:

  • आर एक =: 2 एक्स CTG π / p एक्स TG θ: 2,

जहां θ - डिहेड्रल कोण जो आसन्न पहलुओं के बीच है।

क्षेत्र की औसत त्रिज्या निम्न सूत्र का उपयोग करके किया जा सकता है:

  • ρ = एक क्योंकि π / p: 2 पाप π / घंटा,

जहां ज 4.6, 6.10, या 10 की खुदा वर्णित त्रिज्या के अनुपात और संतुलित p और q के संबंध में की भयावहता =। इस प्रकार यह गणना की जाती है:

  • आर / आर = TG π / p एक्स TG π / q।

बहुकोणीय आकृति की समरूपता

नियमित रूप से बहुकोणीय आकृति की समरूपता इन ज्यामितीय निकायों के लिए प्राथमिक ब्याज की है। यह अंतरिक्ष में शरीर के एक आंदोलन है, जो कोने, चेहरे और किनारों की एक ही नंबर के पत्तों के रूप में समझा जाता है। दूसरे शब्दों में, के तहत समरूपता के प्रभाव बढ़त ट्रांसफ़ॉर्मेशन, शिखर, या चेहरे अपनी मूल स्थिति को बरकरार रखे हुए, या किसी अन्य रिब, अन्य कोने या चेहरे के घर की स्थिति में ले जाता है।

नियमित रूप से बहुकोणीय आकृति की समरूपता के तत्वों ज्यामितीय ठोस के सभी प्रकार के लिए आम हैं। यहाँ यह पहचान परिवर्तन है, जो मूल स्थिति में अंक के किसी भी छोड़ देता है पर आयोजित किया जाता है। इसलिए, जब आप बारी बहुभुज चश्मे कुछ समानताएं मिल सकती है। उनमें से किसी को प्रतिबिंब के उत्पाद के रूप में प्रतिनिधित्व किया जा सकता है। समरूपता, जो प्रतिबिंब के सम संख्या, प्रत्यक्ष कहा जाता है का उत्पाद है। यदि यह प्रतिबिंब के एक विषम संख्या का उत्पाद है, तो यह प्रतिक्रिया कहा जाता है। इस प्रकार, रेखा के आसपास सभी बारी-बारी से सीधे समरूपता प्रतिनिधित्व करते हैं। किसी भी प्रतिबिंब बहुतल - उलटा समरूपता है।

बेहतर नियमित बहुकोणीय आकृति की समरूपता तत्वों को समझने के लिए, आपको चतुर्पाश्वीय का उदाहरण ले सकते हैं। किसी भी लाइन है कि कोने और के केंद्र में से एक के माध्यम से पारित होगा ज्यामितीय आकार, जगह ले, और यह करने के लिए धार विपरीत के केंद्र के माध्यम से होगा। बारी-बारी से 120 और 240 ° रेखा के आसपास से प्रत्येक बहुवचन चतुष्फलकीय समरूपता के अंतर्गत आता है। यह 4 कोने और चेहरे बाद से, हम आठ प्रत्यक्ष समानताएं की कुल मिलता है। लाइनों के किनारों के बीच और शरीर के केंद्र से गुजरने वाले किसी भी, यह विपरीत बढ़त के बीच से होकर गुजरता है। 180 डिग्री के किसी भी रोटेशन सीधी समरूपता चारों ओर एक आधा बारी कहा जाता है। के बाद से चतुर्पाश्वीय पसलियों के तीन जोड़े है, तो आपको समरूपता के तीन लाइनों मिलता है। इसके बाद के संस्करण के आधार पर हमने जो प्रत्यक्ष समरूपता की कुल संख्या, और पहचान परिवर्तन सहित निष्कर्ष निकाल सकते हैं, बारह अप करने के लिए किया जाएगा। अन्य प्रत्यक्ष समरूपता चतुर्पाश्वीय मौजूद नहीं है, लेकिन यह 12 उलटा समरूपता है। नतीजतन, केवल 24 चतुर्पाश्वीय समानताएं होती है। स्पष्टता के लिए, हम एक नियमित गत्ते के बने चतुर्पाश्वीय के एक मॉडल का निर्माण और यह है ज्यामितीय शरीर वास्तव में केवल 24 समरूपता है सुनिश्चित करें।

Dodecahedron और विंशतिफलक - शरीर क्षेत्र के सबसे करीब। विंशतिफलक चेहरों की संख्या सबसे अधिक, डिहेड्रल कोण है और सभी के अधिकांश कसकर खुदा क्षेत्र से चिपक कर सकते हैं। Dodecahedron सबसे कम कोणीय दोष सबसे बड़े ठोस शीर्ष पर कोण है। यह घिरा क्षेत्र में भरने के लिए अधिकतम कर सकते हैं।

स्कैनिंग बहुकोणीय आकृति

नियमित रूप से बहुकोणीय आकृति स्कैन, जो हम सभी को बचपन में एक साथ अटक, अवधारणाओं का एक बहुत कुछ है। अगर वहाँ बहुभुज का एक सेट है, जिनमें से प्रत्येक पक्ष बहुतल का केवल एक पक्ष के साथ की पहचान की है, पार्टियों की पहचान दो शर्तों का पालन करना चाहिए:

  • प्रत्येक बहुभुज की है, तो आप एक बहुभुज पक्ष की पहचान होने के लिए जा सकते हैं;
  • पहचान योग्य पक्ष एक ही लंबाई होना चाहिए।

यह बहुभुज कि इन शर्तों को पूरा का एक सेट है, और एक बहुतल स्कैन कहा जाता है। इन निकायों में से प्रत्येक उनमें से कई है। उदाहरण के लिए, एक घन जिनमें से 11 टुकड़े कर रहे हैं।

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