जोर्ज कैंटर: सेट सिद्धांत, जीवनी और परिवार गणित

जोर्ज कैंटर (तस्वीर आलेख में बाद में पता चलता है) - जर्मन गणितज्ञ जो सेट के सिद्धांत का विकास और transfinite संख्या, असीम बड़ी है, लेकिन एक दूसरे से अलग की अवधारणा प्रस्तुत की। उन्होंने यह भी क्रमसूचक और कार्डिनल नंबर की एक परिभाषा दी और उनके गणित की स्थापना की।

जोर्ज कैंटर: एक संक्षिप्त जीवनी

सेंट पीटर्सबर्ग 1845/03/03 में जन्मे। उनके पिता, एक डेनिश प्रोटेस्टेंट जोर्ज वाल्डेमर कैंटर था वॉल्यूम। एच में और शेयर बाजार पर व्यापार में लगे हुए किया गया था। उसकी माँ, मेरी, कार्यलय एक कैथोलिक था और प्रमुख संगीतकारों के एक परिवार से आया है। जब 1856 में अपने पिता जॉर्ज बीमार हो गया, एक मामूली जलवायु की तलाश में परिवार पहले Wiesbaden को तो फ्रैंकफर्ट में ले जाया गया। गणितीय प्रतिभा, लड़के निजी स्कूलों और Darmstadt और Wiesbaden में पब्लिक स्कूलों में पढ़ाई के दौरान 15 वां जन्मदिन से पहले दिखाई दिया। अंत में, जोर्ज कैंटर अपनी दृढ़ता में अपने पिता के लिए राजी एक गणितज्ञ के बजाय एक इंजीनियर बनने के लिए।

1863 कैंटर में विश्वविद्यालय के ज्यूरिख पर एक संक्षिप्त प्रशिक्षण के बाद बर्लिन विश्वविद्यालय को हस्तांतरित किया गया भौतिक विज्ञान, दर्शन और गणित का अध्ययन करने के लिए। वहां उन्होंने सिखाया गया था:

• कार्ल थियोडोर विअरस्ट्रास, विश्लेषण में जिसका विशेषज्ञता, शायद जॉर्ज पर सबसे बड़ा प्रभाव था;
• अर्न्स्ट कुमेर, जो सबसे अधिक गणित सिखाया;
• लियोपोल्ड क्रोनेकर, संख्या सिद्धांत विशेषज्ञ पर, जो बाद में कैंटर का विरोध किया।

1866 में गौटिंगेन विश्वविद्यालय में एक सेमेस्टर खर्च करने के बाद, अगले साल जॉर्ज उनकी डॉक्टरेट की थीसिस शीर्षक के अंतर्गत समस्या यह है कि कार्ल फ्रेडरिक गॉस उसकी Disquisitiones अरिथमेटिकी में अनसुलझे छोड़ दिया (1801) के बारे में लिखा था "गणित में, सवाल पूछने की कला समस्याओं को सुलझाने से अधिक मूल्यवान है" । संक्षेप में लड़कियों के लिए बर्लिन स्कूल में अध्यापन के बाद Kantor सहायक प्रोफेसर के रूप में, एक व्याख्याता के रूप में हाले, जहां वह अपने जीवन के अंत तक बने रहे विश्वविद्यालय में काम करना शुरू किया, पहले 1872 के बाद से, और 1879 के बाद से एक प्रोफेसर के रूप में पहले।

अनुसंधान

1873 से 1869 के 10 कार्यों की एक श्रृंखला की शुरुआत में, जोर्ज कैंटर संख्याओं के सिद्धांत पर विचार किया। काम अपने अध्ययन का विषय और गॉस क्रोनेकर के प्रभाव के लिए जुनून को दर्शाता है। हेनरिक एडवर्ड हीने के सुझाव पर, हाले में कैंटर के सहयोगियों, जो अपने गणितीय प्रतिभा को मान्यता दी है, वह त्रिकोणमितीय श्रृंखला के सिद्धांत है, जो वास्तविक संख्या की अवधारणा का विस्तार करने के लिए बदल गया।

त्रिकोणमितीय श्रृंखला के द्वारा - 1854 में जर्मन गणितज्ञ बर्नहार्ड रिएमन्न की एक जटिल चर का काम समारोह, कि इस तरह के एक समारोह के सिर्फ एक ही रास्ता में दर्शाया जा सकता है 1870 में कैंटर से पता चला है के आधार पर। संख्या (अंक), जिसे इस दृश्य का खंडन नहीं होता के सेट पर विचार, उसे नेतृत्व किया, पहली जगह में, 1872 में परिभाषा को अपरिमेय संख्या के , परिमेय संख्याओं (पूर्णांक अंशों) के अभिसरण दृश्यों के मामले में और फिर अपने जीवन के कार्य पर काम की शुरुआत करने के लिए सेट सिद्धांत और transfinite संख्या की अवधारणा।

सेट सिद्धांत

जोर्ज कैंटर, सिद्धांत है जो ब्राउनश्विक गणितज्ञ रिचर्ड डेडेकिंड की तकनीकी संस्थान के साथ पत्राचार में जन्म लिया सेट, उसके साथ दोस्त बचपन से ही था। उन्होंने निष्कर्ष निकाला कि सेट, परिमित या अनंत, तत्वों की बहुलता हैं (जैसे, संख्या {0, ± 1, ± 2 ...}) जो एक निश्चित संपत्ति है, जबकि उनके व्यक्तित्व को बनाए रखना। लेकिन जोर्ज कैंटर उनकी विशेषताओं एक पत्राचार अध्ययन करने के लिए लागू किया जाता है जब (जैसे, {ए, बी, सी} में {1, 2, 3}), वह जल्दी से पता चला है कि वे संबद्धता के अपने डिग्री में मतभेद है, भले ही वह अनंत सेट थे , टी। ई। सेट टुकड़ा या एक सबसेट के रूप में यह अपने आप में है, जिनमें से वस्तुओं की एक ही नंबर भी शामिल है। उनकी विधि जल्द ही अद्भुत परिणाम दे दी है।

1873 में, जोर्ज कैंटर (गणितज्ञ) से पता चला कि परिमेय संख्याओं, हालांकि अनंत,, गणनीय हैं क्योंकि वे प्राकृतिक (यानी ई। 1, 2, 3 ,. डी) के साथ एक-से-एक पत्राचार में रखा जा सकता है। उन्होंने दिखाया कि असली एक परिमेय और अपरिमेय, और अगणनीय अनंत से मिलकर संख्याओं के समूह। क्या एक विरोधाभास, कैंटर साबित कर दिया कि सभी बीजीय संख्या के सेट सभी पूर्णांकों के सेट के रूप में कई तत्व शामिल हैं, और कहा कि अबीजीय संख्या जो बीजीय नहीं हैं, जो कर रहे हैं अपरिमेय संख्याओं के एक सबसेट अगणनीय है और इसलिए उनकी संख्या पूर्णांक से अधिक है और अनंत के रूप में माना जाना चाहिए।

विरोधियों और समर्थकों

लेकिन काम कैंटर, जिसमें उन्होंने पहला परिणाम पेश किया, समीक्षक के रूप में "Krell" पत्रिका में प्रकाशित नहीं किया गया था, क्रोनेकर विरोध किया था। लेकिन डेडेकिंड के हस्तक्षेप के बाद यह शीर्षक के तहत 1874 में प्रकाशित किया गया था "सभी वास्तविक बीजीय संख्या की विशेषताओं।"

विज्ञान और निजी जीवन

एक ही वर्ष में, उसकी पत्नी, इंटरलेकन, स्विट्जरलैंड में वल्ली गुटमैन साथ हनीमून के दौरान, कैंटर डेडेकिंड जो कृपया अपने नए सिद्धांत पर टिप्पणी से मुलाकात की। जॉर्ज वेतन छोटा था, लेकिन पैसे के साथ उनके पिता ने 1863 में मृत्यु हो गई, वह अपनी पत्नी और पांच बच्चों को घर के लिए निर्माण किया था। अपने काम से कई नए पत्रिका एक्टा मेथेमेटिका, संपादक और संस्थापक जिनमें से गोस्ता मितटाग लेफ़्लेर, पहले जर्मन गणितज्ञ की प्रतिभा को पहचान करने के लिए के बीच में था में स्वीडन में प्रकाशित किया गया है।

तत्वमीमांसा के साथ संचार

थ्योरी कैंटर गणित अनंत से संबंधित अनुसंधान (जैसे, अनुक्रम 1, 2, 3 ,. डी, और अधिक जटिल सेट), जो मोटे तौर पर एक-से-एक पत्राचार पर निर्भर है की पूरी तरह से नया विषय था। निरंतरता और अनंत से संबंधित प्रश्नों की स्थापना के नए तरीकों की कैंटर विकास अपनी पढ़ाई मिश्रित दी।

जब उन्होंने तर्क दिया कि अनंत संख्या वास्तव में मौजूद है, वह साथ ही जल्दी धार्मिक शिक्षा है, जो माता-पिता उसे दे दी है के रूप में वास्तविक और संभावित अनंत के संबंध में प्राचीन और मध्ययुगीन दर्शन की ओर रुख किया,। 1883 में, अपनी पुस्तक "सेट के सामान्य सिद्धांत के मूल तत्व" में Kantor प्लेटो के तत्वमीमांसा की अपनी अवधारणा संयुक्त।

क्रोनेकर भी, जो इस बात पर जोर "देखते हैं" कि केवल पूर्णांकों ( "भगवान पूर्णांकों, बाकी बनाया - आदमी का काम"), कई वर्षों के लिए दृढ़ता से अपने तर्क को खारिज कर दिया और बर्लिन विश्वविद्यालय के लिए उनकी नियुक्ति को रोका।

transfinite संख्या

1895-1897 gg में। जोर्ज कैंटर पूरी तरह से, निरंतरता और अनंत, एक अंतहीन अनुक्रम और कार्डिनल नंबर सहित के बारे में उनकी विचार का गठन, उनके सबसे प्रसिद्ध कार्य में (1915) शीर्षक "transfinite संख्या के सिद्धांत के योगदान" के अंतर्गत प्रकाशित। यह काम अपनी अवधारणा है, जो करने के लिए वह एक प्रदर्शन है कि एक अनंत सेट अपने सबसेट में से एक के साथ एक-से-एक पत्राचार में दिया जा सकता है का नेतृत्व भी शामिल है।

छोटी से छोटी transfinite कार्डिनल संख्या वह किसी भी सेट है, जो प्राकृतिक संख्या के साथ एक-से-एक पत्राचार में रखा जा सकता है की शक्ति का मतलब है। Kantor अपने aleph शून्य का वर्णन किया। बड़े transfinite अधिकता Alef नामित एक, दो या Aleph-टी। डी आगे यह भी गणित ऑर्डिनल्स, जो परिमित गणित के समान था विकसित किया है। इस प्रकार, वह अनंत की अवधारणा को समृद्ध बनाया।

विपक्ष वह का सामना करना पड़ा है, और समय यह सुनिश्चित करना है कि उनके विचारों को पूरी तरह से स्वीकार कर लिया गया ले लिया है, क्या संख्या है की प्राचीन प्रश्न के पुनर्मूल्यांकन की जटिलताओं को समझाया। Kantor दिखाया लाइन पर अंक का एक सेट Aleph शून्य तुलना में एक उच्च क्षमता है। aleph शून्य और लाइन पर कोई शक्ति अंक के बीच कोई कार्डिनल्स - यह सातत्य परिकल्पना के जाने-माने समस्या का नेतृत्व किया। 20 वीं सदी की पहली और दूसरी छमाही में यह समस्या महान ब्याज की है और कई गणितज्ञों के द्वारा अध्ययन किया गया है, वॉल्यूम। एच कर्ट गोडेल और पॉल कोहेन में।

मंदी

जीवनी Georga Kantora 1884 अपने प्रारंभिक मानसिक बीमारी को हानि पहुंची है, लेकिन वह सक्रिय रूप से काम करना जारी रखा। 1897 में उन्होंने ज्यूरिख में गणितज्ञ के पहले अंतर्राष्ट्रीय कांग्रेस धारण करने के लिए मदद की। आंशिक रूप से, क्योंकि वह क्रोनेकर का विरोध किया है, वह अक्सर युवा नवोदित गणितज्ञों के साथ सहानुभूति और शिक्षकों जो नए विचारों से खतरा महसूस द्वारा उत्पीड़न से उन्हें बचाने के लिए एक रास्ता खोजने की कोशिश की।

मान्यता

सदी के अंत में अपने काम के लिए पूरी तरह से काम करता है, विश्लेषण और टोपोलॉजी के सिद्धांत के लिए एक आधार के रूप में मान्यता दी गई थी। इसके अलावा, Kantora Georga पुस्तक गणित के तार्किक नींव के रूपवादी और intuitionist स्कूल के आगे विकास के लिए एक प्रोत्साहन के रूप में कार्य किया। यह महत्वपूर्ण शिक्षण की प्रणाली बदल गया है और अक्सर साथ जुड़ा हुआ है "नए गणित।"

1911 में, कैंटर स्कॉटलैंड में सेंट एंड्रयूज विश्वविद्यालय की 500 वीं वर्षगांठ के समारोह के लिए आमंत्रित किया उन लोगों के बीच किया गया था। वह वहाँ से चला गया बर्टराण्ड रसेल, जो अपने हाल ही में प्रकाशित काम प्रिन्सिपिया मेथेमेटिका में बार-बार जर्मन गणितज्ञ के रूप में भेजा पूरा करने के लिए उम्मीद कर रहा है, लेकिन ऐसा नहीं हुआ। विश्वविद्यालय कैंटर मानद उपाधि से सम्मानित, लेकिन बीमारी की वजह से वह व्यक्ति में पुरस्कार स्वीकार करने में असमर्थ था।

कैंटर 1913 में सेवानिवृत्त और गरीबी में और प्रथम विश्व युद्ध के दौरान भूख से मर रहते थे। ने 1915 में 70 वें जन्मदिन के सम्मान में समारोह युद्ध की वजह से रद्द कर दिया गया है, लेकिन एक छोटे से समारोह अपने घर में आयोजित किया गया। वह 1918/01/06 पर मृत्यु हो गई, गाले में एक मनोरोग अस्पताल, जहां वह अपने जीवन के अंतिम वर्षों में खर्च में।

जोर्ज कैंटर: ए बायोग्राफी। परिवार

अगस्त 9, 1874, जर्मन गणितज्ञ वल्ली गुटमैन शादी कर ली। जोड़ी 4 बेटे और 2 बेटियां उत्पन्न हुई। आखिरी बच्चा 1886 में पैदा हुआ था कैंटर एक नया घर खरीदा है। परिवार वह अपने पिता की विरासत की मदद का समर्थन करें। कैंटर के स्वास्थ्य बहुत 1899 में अपने सबसे छोटे बेटे की मौत प्रभावित - के बाद से यह कभी नहीं अवसाद छोड़ दिया है।